Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 129 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Σ
∞
k=1
(˜α
2
k
+
˜
β
2
k
)
Σ
∞
k=1
(1/k
2
)
g
′
(i)
Ω
(ii) Ω
Ω
e
Ω
(ii)
Ω
e
g
u(ρ, ϕ) =
1
π
2π
Z
0
g(ψ)
(
1
2
+
∞
X
k=1
ρ
a
k
(coskψcoskϕ + sinkψsinkϕ)
)
dψ =
=
1
π
2π
Z
0
g(ψ)
(
1
2
+
∞
X
k=1
ρ
a
k
cosk(ϕ − ψ)
)
dψ.
t ≡ ρ/a < 1
Σ
∞
k=1
γ
k
=
γ
1 −γ
|γ| < 1,
1
2
+ Σ
∞
k=1
t
k
cosk(ϕ − ψ) =
1
2
+
1
2
Σ
∞
k=1
t
k
h
e
ik(ϕ−ψ)
+ e
−ik(ϕ−ψ)
i
=
=
1
2
n
1 + Σ
∞
k=1
h
(te
i(ϕ−ψ)
)
k
+ (te
−i(ϕ−ψ)
)
k
io
=
è èç ñõîäèìîñòè ðÿäîâ Σ∞ k=1(α̃k + β̃k ), Σk=1(1/k ). Ïåðâûé èç íèõ ñõîäèòñÿ â
                               2     2     ∞      2

ñèëó ðàâåíñòâà Ïàðñåâàëÿ äëÿ êóñî÷íî-íåïðåðûâíîé óíêöèè g ′ , à âòîðîé 
â ñèëó ïðèçíàêà Êîøè-Ìàêëîðåíà. Ñîðìóëèðóåì ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò.
   Òåîðåìà 4.1. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (i) ðÿä (4.23) ÿâëÿåòñÿ ãàð-
ìîíè÷åñêîé â êðóãå Ω óíêöèåé. Åñëè, áîëåå òîãî, âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
(ii), òî ðÿä (4.23) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé â çàìêíóòîì êðóãå Ω óíêöèåé,
óäîâëåòâîðÿþùåé ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ (4.2) è, ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ
êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì çàäà÷è 1.
   Àíàëîãè÷íûé ðåçóëüòàò ñïðàâåäëèâ è äëÿ âíåøíåé çàäà÷è.
   Òåîðåìà 4.2. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (i) ðÿä (4.24) ÿâëÿåòñÿ ãàð-
ìîíè÷åñêîé âî âíåøíîñòè Ωe êðóãà Ω óíêöèåé. Åñëè, áîëåå òîãî, âû-
ïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (ii), òî ðÿä (4.24) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé â çàìêíó-
òîé îáëàñòè Ωe óíêöèåé, óäîâëåòâîðÿþùåé ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ (4.2) è
óñëîâèþ íà áåñêîíå÷íîñòè (4.3) è, ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ êëàññè÷åñêèì
ðåøåíèåì çàäà÷è 2.
   4.2. Èíòåãðàë Ïóàññîíà. Ïðåîáðàçóåì â ýòîì ïóíêòå îðìóëû (4.23),
(4.24) ê ýêâèâàëåíòíûì èíòåãðàëüíûì îðìóëàì è ïîêàæåì, ÷òî ïîñëåäíèå
îðìóëû äàþò ðåøåíèÿ çàäà÷ 1 è 2 ïðè âûïîëíåíèè ëèøü óñëîâèÿ (i). Êàê
è â ï. 4.1, ðàññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî âíóòðåííþþ çàäà÷ó, à äëÿ âíåøíåé
çàäà÷è ïîëó÷èì ðåçóëüòàò ïî àíàëîãèè.
   Ïîäñòàâèì âûðàæåíèÿ (4.22) äëÿ êîýèöèåíòîâ Ôóðüå ãðàíè÷íîé óíê-
öèè g â îðìóëó (4.23). Ìåíÿÿ ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ è ñóììèðîâàíèÿ,
ïîëó÷èì
                  Z2π             (         ∞  
                                                                                )
              1                       1     X  ρ k
  u(ρ, ϕ) =             g(ψ)            +                (coskψcoskϕ + sinkψsinkϕ) dψ =
              π                       2            a
                  0                         k=1

                            Z2π          (         ∞  
                                                                       )
                        1                    1     X  ρ k
                  =               g(ψ)         +             cosk(ϕ − ψ) dψ.        (4.29)
                        π                    2           a
                            0                      k=1

Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî t ≡ ρ/a < 1, è èñïîëüçóÿ èçâåñòíóþ îðìóëó
                                                    γ
                                   Σ∞    k
                                    k=1 γ =            ïðè |γ| < 1,
                                                   1−γ
ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå â èãóðíûõ ñêîáêàõ (4.29):
      1     ∞ k               1 1 ∞ k h ik(ϕ−ψ)         −ik(ϕ−ψ)
                                                                 i
        + Σk=1t cosk(ϕ − ψ) = + Σk=1t e              +e            =
      2                       2 2
                1n      ∞
                            h
                               i(ϕ−ψ) k     −i(ϕ−ψ) k
                                                      io
              =    1 + Σk=1 (te      ) + (te       )     =
                2

                                                       129

Страницы