Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 127 стр.

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ДВФУ | Владивосток

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a
k
b
k
ρ → a
u(a, ϕ) =
∞
X
k=0
a
k
(a
k
coskϕ + b
k
sinkϕ) = g(ϕ).
g
(i) g ∈ C
0
[0, 2π] g(0 ) = g(2 π)
g
g(ϕ) =
α
0
2
+
∞
X
k=1
(α
k
coskϕ + β
k
sinkϕ),
α
0
=
1
π
2π
Z
0
g(ψ)dψ, α
k
=
1
π
2π
Z
0
g(ψ)coskψdψ, β
k
=
1
π
2π
Z
0
g(ψ)sinkψdψ, k = 1, 2, ... .
a
k
b
k
a
0
= α
0
/2 a
k
= α
k
/a
k
b
k
= β
k
/a
k
k = 1, 2, ...
u(ρ, ϕ) =
α
0
2
+
∞
X
k=1
u
k
(ρ, ϕ) ≡
α
0
2
+
∞
X
k=1
ρ
a
k
(α
k
coskϕ + β
k
sinkϕ).
u
u(ρ, ϕ) =
α
0
2
+
∞
X
k=1
a
ρ
k
(α
k
coskϕ + β
k
sinkϕ).
Ω Ω
e
Ω
ρ
0
= {(ρ, ϕ) : 0 ≤ ρ ≤ ρ
0
, ϕ ∈ [0, 2π)} ρ
0
< a
X
k
∂u
k
∂ρ
,
X
k
∂
2
u
k
∂ρ
2
,
X
k
∂u
k
∂ϕ
,
X
k
∂
2
u
k
∂ϕ
2
,
(i) α
k
β
k
g
|α
0
|, |α
k
| |β
k
| < M = const ∀k = 1, 2, ... .
   Îñòàëîñü îïðåäåëèòü êîýèöèåíòû ak è bk . Âîñïîëüçóåìñÿ äëÿ ýòîãî
ãðàíè÷íûì óñëîâèåì (4.2). Ïåðåõîäÿ â (4.18) îðìàëüíî ê ïðåäåëó ïðè
ρ → a ñ èñïîëüçîâàíèåì (4.2), ïîëó÷èì
                                    ∞
                                    X
                    u(a, ϕ) =             ak (ak coskϕ + bk sinkϕ) = g(ϕ).                         (4.20)
                                    k=0

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ãðàíè÷íàÿ óíêöèÿ g óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì
  (i) g ∈ C 0[0, 2π], g(0) = g(2π).
Ñ ó÷åòîì óñëîâèé (i) óíêöèþ g ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä Ôóðüå:
                                               ∞
                                 α0 X
                          g(ϕ) =   +  (αk coskϕ + βk sinkϕ),                                       (4.21)
                                 2
                                               k=1

         Z2π                        Z2π                                    Z2π
     1                      1                               1
α0 =           g(ψ)dψ, αk =               g(ψ)coskψdψ, βk =                        g(ψ)sinkψdψ, k = 1, 2, ... .
     π                      π                               π
         0                           0                                         0
                                                                        (4.22)
Ñðàâíèâàÿ ðÿäû (4.20) è (4.21), ïðèõîäèì ê ñîîòíîøåíèÿì äëÿ îïðåäåëåíèÿ
ak è bk . Îíè èìåþò âèä a0 = α0 /2, ak = αk /ak , bk = βk /ak , k = 1, 2, ... .
Òåì ñàìûì ìû ïîëó÷èëè (îðìàëüíî) ðåøåíèå çàäà÷è 1 â âèäå ðÿäà
                      ∞                                  ∞
            α0 X             α0 X  ρ k
  u(ρ, ϕ) =   +  uk (ρ, ϕ) ≡   +         (αk coskϕ + βk sinkϕ). (4.23)
            2                2      a
                     k=1                                 k=1

Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ðåøåíèå u çàäà÷è 2 èìååò âèä
                          ∞  k
                      α0 X a
            u(ρ, ϕ) =   +          (αk coskϕ + βk sinkϕ).      (4.24)
                      2       ρ
                                             k=1

   Äîêàæåì, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (i) ðÿäû (4.23) è (4.24) äåéñòâè-
òåëüíî ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà (4.1) ñîîòâåòñòâåííî â îá-
ëàñòÿõ Ω è Ωe . àññìîòðèì ñíà÷àëà ðÿä (4.23) è äîêàæåì, ÷òî â çàìêíóòîì
êðóãå Ωρ0 = {(ρ, ϕ) : 0 ≤ ρ ≤ ρ0 , ϕ ∈ [0, 2π)}, ãäå ρ0 < a  ïðîèçâîëüíîå
÷èñëî, ðàâíîìåðíî ñõîäÿòñÿ êàê ðÿä (4.23), òàê è ðÿäû
                    X ∂uk            X ∂ 2 uk             X ∂uk           X ∂ 2 uk
                                ,                    ,                ,                  ,         (4.25)
                           ∂ρ                 ∂ρ2                ∂ϕ                ∂ϕ2
                      k                  k                   k             k

ïîëó÷åííûå åãî ïî÷ëåííûì äèåðåíöèðîâàíèåì.
   Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (i) äëÿ êîýèöèåíòîâ Ôóðüå αk è βk óíêöèè
g ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ îöåíêà ( [19, . 318℄):
                   |α0 |, |αk | è |βk | < M = const ∀k = 1, 2, ... .                               (4.26)

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