Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 126 стр.

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ДВФУ | Владивосток

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k > 0
R(ρ) = ρ
µ
.
ρ
µ
µ
2
= k
2
=⇒ µ = ±k.
k > 0 ρ
k
ρ
−k
k = 0 1 lnρ
u Ω
Ω
e
Ω
R
R
0
(ρ) = 1, R
k
(ρ) = ρ
k
, k ≥ 1
R
0
(ρ) = 1, R
k
(ρ) = ρ
−k
, k ≥ 1
2π ϕ
u
k
(ρ, ϕ) = ρ
k
(a
k
coskϕ + b
k
sinkϕ), k = 0, 1, ...,
u
k
(ρ, ϕ) = ρ
−k
(a
k
coskϕ + b
k
sinkϕ), k = 0, 1, ...,
u(ρ, ϕ) =
∞
X
k=0
ρ
k
(a
k
coskϕ + b
k
sinkϕ)
u(ρ, ϕ) =
∞
X
k=0
ρ
−k
(a
k
coskϕ + b
k
sinkϕ)
2π ϕ
r ϕ Ω
Ω
e
Åãî ðåøåíèå ïðè k > 0 áóäåì èñêàòü â âèäå

                                       R(ρ) = ρµ .                   (4.12)

Ïîäñòàâëÿÿ (4.12) â (4.11) è ñîêðàùàÿ íà ρµ , íàõîäèì, ÷òî

                             µ2 = k 2 =⇒ µ = ±k.                     (4.13)

Îòñþäà ïðè k > 0 ïîëó÷àåì äâà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ðåøåíèÿ: ρk è ρ−k .
Ïðè k = 0 íåçàâèñèìûìè ðåøåíèÿìè ÿâëÿþòñÿ óíêöèè: 1 è lnρ.
   Òàê êàê èñêîìîå ðåøåíèå u äîëæíî áûòü îãðàíè÷åííûì â êðóãå Ω äëÿ
âíóòðåííåé çàäà÷è è âî âíåøíîñòè Ωe êðóãà Ω äëÿ âíåøíåé çàäà÷è, òî â
êà÷åñòâå ìíîæèòåëÿ R â (4.5) ñëåäóåò âçÿòü óíêöèè

                       R0 (ρ) = 1, Rk (ρ) = ρk , k ≥ 1               (4.14)

äëÿ çàäà÷è 1 è
                      R0 (ρ) = 1, Rk (ρ) = ρ−k , k ≥ 1               (4.15)
äëÿ çàäà÷è 2. Ñ ó÷åòîì ýòîãî èñêîìûå ÷àñòíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (4.4),
óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ 2π  ïåðèîäè÷íîñòè ïî ϕ, èìåþò âèä

             uk (ρ, ϕ) = ρk (ak coskϕ + bk sinkϕ), k = 0, 1, ...,    (4.16)

äëÿ çàäà÷è 1 (âíóòðåííåé çàäà÷è Äèðèõëå) è

             uk (ρ, ϕ) = ρ−k (ak coskϕ + bk sinkϕ), k = 0, 1, ...,   (4.17)

äëÿ çàäà÷è 2 (âíåøíåé çàäà÷è Äèðèõëå).
   ñèëó ëèíåéíîñòè (4.4) áåñêîíå÷íàÿ ñóììà ðåøåíèé (4.16), ò. å. ðÿä
                                 ∞
                                 X
                     u(ρ, ϕ) =          ρk (ak coskϕ + bk sinkϕ)     (4.18)
                                 k=0

äëÿ çàäà÷è 1 è ðÿä
                                 ∞
                                 X
                     u(ρ, ϕ) =         ρ−k (ak coskϕ + bk sinkϕ)     (4.19)
                                 k=0

äëÿ çàäà÷è 2, òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (4.4), óäîâëåòâîðÿþùèì
óñëîâèþ 2π  ïåðèîäè÷íîñòè ïî ϕ. Ýòîò âûâîä, êîíå÷íî, ñïðàâåäëèâ ïðè
óñëîâèè, ÷òî ðÿä (4.18) (ëèáî (4.19)) ìîæíî äâàæäû ïî÷ëåííî äèåðåí-
öèðîâàòü ïî r è ϕ ñ ñîõðàíåíèåì åãî ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè â Ω (ëèáî â
Ωe).


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