Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 124 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u
Ω
e
= R
2
\Ω Ω
e
u Ω
e
|u(x)| ≤ max
x∈Γ
|u(x)| ∀x ∈ Ω
e
,
u
lim
x→∞
u(x) = u
∞
,
|
∂u(x)
∂x
| = O(
1
|x|
2
), |
∂u(x)
∂y
| = O(
1
|x|
2
), |x| → ∞.
R
3
R
3
Ω = Ω
a
= {(x, y) ∈ R
2
: x
2
+ y
2
< a
2
} a, Ω
e
= R
2
\Ω
∆u = 0
Ω
u = g Γ
a
= ∂Ω,
  Ëåììà 3.4.    Ïóñòü óíêöèÿ u óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (3.17) â îá-
ëàñòè Ωe = R \Ω, óñëîâèþ (3.20) è íåïðåðûâíà íà Ωe. Òîãäà äëÿ óíêöèè
                2

u â îáëàñòè Ωe ñïðàâåäëèâ ïðèíöèï ìàêñèìóìà â ñëåäóþùåé îðìå
                        |u(x)| ≤ max |u(x)| ∀x ∈ Ωe,                  (3.28)
                                  x∈Γ

 óíêöèÿ u íåïðåðûâíà íà áåñêîíå÷íîñòè, ò. å. ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé
ïðåäåë
                          lim u(x) = u∞ ,                    (3.29)
                               x→∞
à åå ïðîèçâîäíûå óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùåìó óñëîâèþ íà áåñêîíå÷íîñòè
                ∂u(x)        1      ∂u(x)        1
            |         | = O( 2 ), |       | = O( 2 ), |x| → ∞.        (3.30)
                 ∂x         |x|      ∂y         |x|
  Çàìå÷àíèå 3.7. Îòìåòèì, ÷òî åñëè åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèé âíóòðåí-
íåé è âíåøíåé çàäà÷ Äèðèõëå â R3 äîêàçûâàåòñÿ ñðàâíèòåëüíî ïðîñòî íà
îñíîâå ïðèíöèïà ìàêñèìóìà, òî äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ êëàññè÷å-
ñêèõ ðåøåíèé êàæäîé èç ýòèõ çàäà÷ ïðåäñòàâëÿåòñÿ çíà÷èòåëüíî áîëåå
ñëîæíûì äåëîì, îñîáåííî äëÿ âíåøíåé çàäà÷è, è òðåáóåò èñïîëüçîâàíèÿ
ñïåöèàëüíîãî àïïàðàòà. Îäíèì èç øèðîêî èñïîëüçóåìûõ äëÿ ýòîãî ìåòîäîâ
ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ãðàíè÷íûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé. Ñóùíîñòü åãî áóäåò
èçëîæåíà â ãë. 7. Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî èñïîëüçîâàíèå ýòîãî ìåòîäà ïîç-
âîëÿåò äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ âíåøíåé çàäà÷è â òîì æå êëàññå
óíêöèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ (3.19) íà áåñêîíå÷íîñòè, â êîòîðîì
äîêàçàíà åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ. Â ýòîì ñìûñëå óñëîâèå (3.19) ìîæíî
ñ÷èòàòü åñòåñòâåííûì óñëîâèåì äëÿ êîððåêòíîé ïîñòàíîâêè âíåøíåé êðà-
åâîé çàäà÷è â R3 . Àíàëîãè÷íóþ ðîëü â äâóìåðíîì ñëó÷àå èãðàåò óñëîâèå
(3.20) îãðàíè÷åííîñòè íà áåñêîíå÷íîñòè, ïîñêîëüêó èìåííî â êëàññå óíê-
öèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ (3.20), óäàåòñÿ äîêàçàòü êàê åäèíñòâåí-
íîñòü (ñì. ëåììó 3.3), òàê è ñóùåñòâîâàíèå êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ.

Ÿ4. åøåíèå çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà â
                êðóãå è âíå êðóãà ìåòîäîì Ôóðüå

  4.1. Ïîñòàíîâêà êðàåâûõ çàäà÷. Ïðèìåíåíèå ìåòîäà Ôóðüå.
Ïóñòü Ω = Ωa = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < a2 }  êðóã ðàäèóñà a, Ωe = R2 \ Ω.
àññìîòðèì äâå çàäà÷è: çàäà÷ó 1 (âíóòðåííþþ çàäà÷ó Äèðèõëå), çàêëþ÷à-
þùóþñÿ â íàõîæäåíèè ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà
                                   ∆u = 0                              (4.1)
â Ω, óäîâëåòâîðÿþùåãî ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ
                            u=g      íà       Γa = ∂Ω,                 (4.2)

                                        124

Страницы