Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 122 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

M u
Ω
R
|u(x)| < M Γ
R
Ω
R
Ω
u(x) = 1/|x| B
1
R
3
\B
1
|x| > 1 −1/|x|
u ∈ C
2
(Ω) ∩ C(Ω)
u ∈ C
2
(Ω
e
) ∩ C(Ω
e
) R
3
u
1
u
2
. u =
u
2
− u
1
Ω
Γ u(x) ≡ 0 Ω ⇒
u
1
= u
2
Ω
u
1
u
2
u = u
2
−u
1
∆u = 0 Ω
e
Ω
e
Ω
e
Γ
u(x) ≡ 0 Ω
e
⇒ u
1
= u
2
Ω
e
R
n
n ≥ 3
u ∈ C
2
(Ω) ∩C
0
(Ω)
u ∈ C
2
(Ω
e
) ∩ C(Ω
e
) R
2
u
1
u
2
u = u
2
− u
1
Ω
e
= Ω
e
∪ Γ Γ
Ω
e
|u(x)| ≤ M ∀x ∈ Ω
e
x
0
∈ Ω
e
òàê ÷òî êîíñòàíòà M ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé ìàæîðàíòîé óíêöèè u â
ΩR , ïðè÷åì |u(x)| < M íà ΓR . Èç ñëåäñòâèÿ 3.5 âûòåêàåò òîãäà, ÷òî (3.24)
âûïîëíÿåòñÿ âñþäó â ΩR . Îòñþäà è (3.22) âûòåêàåò óòâåðæäåíèå ëåììû.
   Çàìå÷àíèå 3.5. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî äëÿ âíåøíåé îáëàñòè ïðèíöèï ìàêñè-
ìóìà ñïðàâåäëèâ èìåííî â îðìå (3.21), ÿâëÿþùåéñÿ àíàëîãîì íà ñëó÷àé
íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòè ñîîòíîøåíèÿ (3.14), ñïðàâåäëèâîãî äëÿ îãðàíè÷åí-
íîé îáëàñòè Ω.  òî æå âðåìÿ ÷èñòûé ïðèíöèï ìàêñèìóìà âèäà (3.12)
äëÿ íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòè óæå íå ñïðàâåäëèâ.  ýòîì ìîæíî óáåäèòüñÿ
íà ïðèìåðå óíêöèè u(x) = 1/|x|, ãàðìîíè÷åñêîé âíå øàðà B1 ðàäèóñà 1,
íåïðåðûâíîé â R3 \B1 , ðàâíîé 1 íà ãðàíèöå ýòîãî øàðà, íî ïðèíèìàþùåé
çíà÷åíèÿ, ìåíüøèå 1 ïðè |x| > 1. Åùå îäèí ïðèìåð äàåò óíêöèÿ −1/|x|.
   Ëåììà 3.2. åøåíèå u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) âíóòðåííåé çàäà÷è Äèðèõëå
ëèáî u ∈ C 2 (Ωe) ∩ C(Ωe ) âíåøíåé çàäà÷è Äèðèõëå â R3 åäèíñòâåííî.
   Äîêàçàòåëüñòâî. àññìîòðèì ñíà÷àëà âíóòðåííþþ çàäà÷ó Äèðèõëå.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îíà èìååò äâà ðåøåíèÿ: u1 è u2 . Òîãäà èõ ðàçíîñòü u =
u2 − u1 ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé óíêöèåé, íåïðåðûâíîé íà Ω è ðàâíîé
íóëþ íà Γ. Îòñþäà â ñèëó ñëåäñòâèÿ 3.2 âûòåêàåò, ÷òî u(x) ≡ 0 íà Ω ⇒
u1 = u2 íà Ω.
   àññìîòðèì òåïåðü âíåøíþþ çàäà÷ó Äèðèõëå. Êàê è âûøå, ïðåäïîëî-
æèì, ÷òî ñóùåñòâóþò äâà ðåøåíèÿ: u1 è u2 . Òîãäà èõ ðàçíîñòü u = u2 − u1
óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ëàïëàñà ∆u = 0 â Ωe è óñëîâèþ ðåãóëÿðíîñòè
(3.19) íà áåñêîíå÷íîñòè, ò. å. ÿâëÿåòñÿ óíêöèåé, ãàðìîíè÷åñêîé â Ωe. Êðî-
ìå òîãî, îíà íåïðåðûâíà íà Ωe è ðàâíà íóëþ íà Γ. Îòñþäà â ñèëó ëåììû
3.1 âûòåêàåò, ÷òî u(x) ≡ 0 íà Ωe ⇒ u1 = u2 íà Ωe.
   Îòìåòèì, ÷òî ëåììû 3.1 è 3.2 ñïðàâåäëèâû â ïðîñòðàíñòâå Rn ëþáîãî
÷èñëà n ≥ 3 èçìåðåíèé. àññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé äâóõ èçìåðåíèé.
   Ëåììà 3.3. åøåíèå u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) âíóòðåííåé çàäà÷è Äèðèõëå,
ëèáî u ∈ C 2 (Ωe) ∩ C(Ωe ) âíåøíåé çàäà÷è Äèðèõëå â R2 åäèíñòâåííî.
   Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ âíóòðåííåé çàäà÷è Äèðèõëå äîêàçàòåëüñòâî
åäèíñòâåííîñòè ïðîâîäèòñÿ ïî òîé æå ñõåìå, ÷òî è â òðåõìåðíîì ñëó÷àå.
Äëÿ âíåøíåé çàäà÷è Äèðèõëå èñïîëüçóåìûå âûøå ðàññóæäåíèÿ íå ïðèìå-
íèìû, ïîñêîëüêó îíè ñóùåñòâåííî èñïîëüçóþò óñëîâèå (3.19) ðàâíîìåðíîãî
ñòðåìëåíèÿ ê íóëþ ðåøåíèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè.  òî æå âðåìÿ â ïîñòàíîâêó
äâóìåðíîé âíåøíåé çàäà÷è âõîäèò ëèøü óñëîâèå (3.20) îãðàíè÷åííîñòè íà
áåñêîíå÷íîñòè. Ñ ó÷åòîì ýòîãî íàì ïðèäåòñÿ ïðîâåñòè áîëåå òîíêèå ðàññóæ-
äåíèÿ, îñíîâàííûå íà ïîñòðîåíèè ãàðìîíè÷åñêîé ìàæîðàíòû äëÿ ðàçíîñòè
äâóõ âîçìîæíûõ ðåøåíèé.
   Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóþò äâà ðåøåíèÿ u1 è u2 çàäà÷è (3.17), (3.18),
(3.20). Òîãäà èõ ðàçíîñòü u = u2 − u1 ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé óíêöèåé,
íåïðåðûâíîé â Ωe = Ωe ∪ Γ, ðàâíîé íóëþ íà Γ è îãðàíè÷åííîé âñþäó â
Ωe, òàê ÷òî âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå |u(x)| ≤ M ∀x ∈ Ωe . Ïóñòü x0 ∈ Ωe


                                   122

Страницы