Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u
u ∈ H(Ω) ∩ C(Ω)
|u(x)| ≤ max
x∈Γ
|u(x)| ∀x ∈ Ω.
M = max
x∈Γ
|u(x)|
u Γ Ω
Ω
R
n
n ≥ 2
u(x
0
) =
1
2πa
Z
Γ
a
u(x)ds, u(x
0
) =
1
πa
2
Z
K
a
u(x)dxdy.
Γ
a
K
a
a
x
0
ds Γ
n
X
i,j=1
a
ij
(x)
∂
2
u
∂x
i
∂x
j
+
n
X
i=1
b
i
(x)
∂u
∂x
i
+ c(x)u = f
a
ij
b
i
c
∆u = 0.
Ω u C
2
(Ω) ∩C(Ω)
x ∈ Ω
u = g Γ.
íåîáõîäèìûõ ñâîéñòâ óíêöèè u, èñõîäÿ èç ñâîéñòâ åå ãàðìîíè÷åñêîé ìà-
æîðàíòû è ïðèíöèïà ìàêñèìóìà. Íèæå ìû áóäåì íåîäíîêðàòíî èñïîëüçî-
âàòü ýòîò ìåòîä.
   Ñëåäñòâèå 3.6. Äëÿ ëþáîé óíêöèè u ∈ H(Ω) ∩ C(Ω) ñïðàâåäëèâî
íåðàâåíñòâî
                     |u(x)| ≤ max |u(x)| ∀x ∈ Ω.                (3.14)
                                   x∈Γ
   Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñîîòíîøåíèÿ (3.14) äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî êîí-
ñòàíòà M = maxx∈Γ |u(x)| ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé ìàæîðàíòîé óíêöèè
u íà ãðàíèöå Γ, à ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó ñëåäñòâèÿ 3.5, è âñþäó â Ω.
   Çàìå÷àíèå 3.4. Ñëåäñòâèÿ 3.5 è 3.6 ñïðàâåäëèâû è äëÿ ìíîæåñòâà Ω,
ÿâëÿþùåãîñÿ êîíå÷íîé ñóììîé íåïåðåñåêàþùèõñÿ îãðàíè÷åííûõ îáëàñòåé.
   Ïîä÷åðêíåì ÷òî ïðèâåäåííûå â ýòîì ïóíêòå ñâîéñòâà ãàðìîíè÷åñêèõ
óíêöèé, äîêàçàííûå íàìè äëÿ ñëó÷àÿ òðåõ èçìåðåíèé, íà ñàìîì äåëå ñïðà-
âåäëèâû â ïðîñòðàíñòâå Rn ëþáîãî ÷èñëà n ≥ 2 èçìåðåíèé è äîêàçûâàþòñÿ
ñîâåðøåííî ïî àíàëîãè÷íîé ñõåìå. Îòìåòèì, â ÷àñòíîñòè, ÷òî îðìóëû î
ñðåäíåì çíà÷åíèè (3.4) è (3.8) â ñëó÷àå äâóõ èçìåðåíèé ïðèíèìàþò âèä
                      1                       1
                         Z                      Z
            u(x0) =         u(x)ds, u(x0) = 2 u(x)dxdy.             (3.15)
                     2πa                     πa
                          Γa                           Ka

Çäåñü Γa (ëèáî Ka )  îêðóæíîñòü (ëèáî êðóã) ðàäèóñà a ñ öåíòðîì â òî÷êå
x0 , ds  ýëåìåíò äëèíû äóãè ãðàíèöû Γ. Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ïðèâåäåííûå
âûøå ðåçóëüòàòû, êàñàþùèåñÿ ïðèíöèïà ìàêñèìóìà äëÿ ðåøåíèé óðàâíå-
íèÿ Ëàïëàñà ìîæíî ïåðåíåñòè (ñ íåáîëüøèìè èçìåíåíèÿìè) íà êëàññè÷å-
ñêèå ðåøåíèÿ îáùåãî ýëëèïòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà
               n                         n
               X              ∂ 2u       X          ∂u
                     aij (x)           +     bi (x)      + c(x)u = f   (3.16)
               i,j=1
                             ∂x i ∂x j   i=1
                                                    ∂x i

ïðè íåêîòîðûõ óñëîâèÿõ íà êîýèöèåíòû aij , bi è c (ñì., íàïðèìåð, [58,
ãë. 1℄).
  3.3. Åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèé âíóòðåííåé è âíåøíåé çàäà÷ Äè-
ðèõëå äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà.      Äîêàæåì â êà÷åñòâå ñëåäñòâèÿ ïðè-
âåäåííûõ âûøå ñâîéñòâ ãàðìîíè÷åñêèõ óíêöèé åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèé
âíóòðåííåé è âíåøíåé çàäà÷ Äèðèõëå äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà
                                    ∆u = 0.                            (3.17)
Ïîä âíóòðåííåé çàäà÷åé Äèðèõëå ìû ïîíèìàåì çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ â îãðà-
íè÷åííîé îáëàñòè Ω óíêöèè u èç ïðîñòðàíñòâà C 2 (Ω) ∩ C(Ω), óäîâëåòâî-
ðÿþùåé óðàâíåíèþ (3.17) â êàæäîé òî÷êå x ∈ Ω è óñëîâèþ Äèðèõëå
                                  u = g íà Γ.                          (3.18)

                                         120

Страницы