Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 119 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Ω
2
Ω
H(Ω)
Ω
u ∈ H(Ω) ∩ C(Ω) u : Ω → R
Ω Ω
u ∈ H(Ω)∩C(Ω)
Γ
m ≡ min
x∈Γ
u(x) < u(x) < max
x∈Γ
u(x) ≡ M ∀x ∈ Ω.
Ω u
M m
u Ω u
M m Ω
M m Γ Ω
u ∈ H(Ω) ∩C(Ω) Γ
u(x) ≡ 0 Ω
u Ω
u = 0 Ω
u ∈ H(Ω) ∩ C(Ω)
Γ u Ω
u, v ∈ H(Ω) ∩ C(Ω)
u ≤ v Γ u ≤ v Ω
v −u Ω Ω
Γ v − u ≥ 0 Ω
v ≥ 0 u, v ∈ H(Ω) ∩ C(Ω)
|u| ≤ v Γ.
|u| ≤ v Ω
−v ≤ u ≤ v
Γ −v ≤ u ≤ v Ω
|u| ≤ v Ω
v
Ω u Γ
u
íàèáîëüøåå çíà÷åíèå, ðàâíîå 2, â ëþáîé âíóòðåííåé òî÷êå øàðà Ω2 , íî íå
ðàâíà òîæäåñòâåííîé êîíñòàíòå âñþäó â Ω.
   Îáîçíà÷èì ÷åðåç H(Ω) ìíîæåñòâî ãàðìîíè÷åñêèõ â îãðàíè÷åííîé îá-
ëàñòè Ω óíêöèé. Èç òåîðåìû 3.4 âûòåêàåò ðÿä ïîëåçíûõ ñëåäñòâèé äëÿ
óíêöèé u ∈ H(Ω) ∩ C(Ω), ò. å. óíêöèé u : Ω → R, ãàðìîíè÷åñêèõ â
îáëàñòè Ω è íåïðåðûâíûõ â åå çàìûêàíèè Ω.
   Ñëåäñòâèå 3.1. Ôóíêöèÿ u ∈ H(Ω)∩C(Ω), îòëè÷íàÿ îò êîíñòàíòû,
äîñòèãàåò ñâîåãî íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî çíà÷åíèé ëèøü íà ãðàíèöå
Γ:
             m ≡ min u(x) < u(x) < max u(x) ≡ M ∀x ∈ Ω.           (3.12)
                  x∈Γ                x∈Γ
   Äåéñòâèòåëüíî, â ñèëó òåîðåìû Âåéåðøòðàññà [18, ñ. 476℄ íåïðåðûâíàÿ â
çàìêíóòîé îãðàíè÷åííîé îáëàñòè Ω óíêöèÿ u íåîáõîäèìî äîñòèãàåò ñâî-
åãî íàèáîëüøåãî M è íàèìåíüøåãî m çíà÷åíèé.  òî æå âðåìÿ, ïîñêîëüêó
u ãàðìîíè÷íà â Ω, òî â ñèëó ïðèíöèïà ìàêñèìóìà óíêöèÿ u íå ìîæåò äî-
ñòèãàòü çíà÷åíèé M è m âíóòðè Ω. Ïîýòîìó åé íè÷åãî íå îñòàåòñÿ äåëàòü
êðîìå òîãî, êàê äîñòèãàòü çíà÷åíèé M è m íà ãðàíèöå Γ îáëàñòè Ω.
   Ñëåäñòâèå 3.2. Åñëè óíêöèÿ u ∈ H(Ω) ∩ C(Ω) ðàâíà íóëþ íà Γ, òî
u(x) ≡ 0 â Ω.
   Äåéñòâèòåëüíî, íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ u íà Ω ðàâíû íóëþ,
è, ñëåäîâàòåëüíî, u = 0 íà Ω.
   Ñëåäñòâèå 3.3 Åñëè óíêöèÿ u ∈ H(Ω) ∩ C(Ω) íåîòðèöàòåëüíà íà
Γ, òî u íåîòðèöàòåëüíà è âíóòðè Ω.
   Ñëåäñòâèå 3.4. Åñëè óíêöèè u, v ∈ H(Ω) ∩ C(Ω) óäîâëåòâîðÿþò
óñëîâèþ u ≤ v íà Γ, òî u ≤ v íà Ω.
   Äåéñòâèòåëüíî, óíêöèÿ v −u ãàðìîíè÷íà â Ω, íåïðåðûâíà íà Ω è íåîò-
ðèöàòåëüíà íà Γ. Ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó ñëåäñòâèÿ 3.3 v − u ≥ 0 íà Ω.
   Ñëåäñòâèå 3.5. Ïóñòü v ≥ 0 è ïóñòü óíêöèè u, v ∈ H(Ω) ∩ C(Ω),
ïðè÷åì
                              |u| ≤ v íà Γ.                        (3.13)
Òîãäà |u| ≤ v íà Ω.
   Äåéñòâèòåëüíî, íåðàâåíñòâî (3.13) ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ −v ≤ u ≤ v
íà Γ. Ïðèìåíÿÿ äâàæäû ñëåäñòâèå 3.4, ïîëó÷èì, ÷òî −v ≤ u ≤ v íà Ω.
Ñëåäîâàòåëüíî, |u| ≤ v íà Ω.
   Çàìå÷àíèå 3.3. àðìîíè÷åñêàÿ óíêöèÿ v , èãóðèðóþùàÿ â óòâåð-
æäåíèè ñëåäñòâèÿ 3.5, íàçûâàåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé ìàæîðàíòîé ãàðìîíè-
÷åñêîé â Ω óíêöèè u íà ãðàíèöå Γ, à ñàìî äîêàçàòåëüñòâî ñëåäñòâèÿ 3.5
ÿâëÿåòñÿ ïðîñòåéøèì ïðèìåðîì ïðèìåíåíèÿ òàê íàçûâàåìîãî ìåòîäà ãàð-
ìîíè÷åñêèõ ìàæîðàíò. Ñóùíîñòü ýòîãî ìåòîäà èçó÷åíèÿ ñâîéñòâ ãàðìî-
íè÷åñêèõ óíêöèé ñîñòîèò â ïîñòðîåíèè âñïîìîãàòåëüíîé ãàðìîíè÷åñêîé
óíêöèè, ÿâëÿþùåéñÿ ãàðìîíè÷åñêîé ìàæîðàíòîé èññëåäóåìîé ãàðìîíè-
÷åñêîé óíêöèè u íà ãðàíèöå ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè, è óñòàíîâëåíèè

                                   119

Страницы