Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 118 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Ω d
l Γ Ω
u(x) u
0
x
0
d/2 x
1
l
u(x
1
) = u
0
u(x) = u
0
x
1
d/2 x
2
l
u(x) = u
0
x
2
d/2 l
y
u(y) = u
0
u
Ω Ω
u
x
y
0
Ω
Ω
Ω
u
Γ
Ω
Ω = Ω
1
∪ Ω
2
Ω
1
Ω
2
u
Ω
1
Ω
2
u Ω
Ω
1
Ýòî âîçìîæíî, ïîñêîëüêó Ω  îáëàñòü. Ïóñòü d  êðàò÷àéøåå ðàññòîÿíèå îò
ëîìàíîé l äî ãðàíèöû Γ îáëàñòè Ω (ñì. ðèñ.3.2). Â ñèëó äîêàçàííîãî âûøå
u(x) ðàâíà ïîñòîÿííîé u0 â øàðå ñ öåíòðîì â x0 è ðàäèóñà d/2. Ïóñòü x1 
êðàéíÿÿ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ëîìàíîé l ñ ãðàíèöåé óïîìÿíóòîãî øàðà. ßñíî,
÷òî u(x1 ) = u0 è ïî äîêàçàííîìó âûøå u(x) = u0 â øàðå ñ öåíòðîì x1
è ðàäèóñà d/2. Ïóñòü x2  êðàéíÿÿ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ l ñ ãðàíèöåé ýòîãî
øàðà. Êàê è âûøå, óáåæäàåìñÿ, ÷òî u(x) = u0 â øàðå ñ öåíòðîì â òî÷êå
x2 ðàäèóñà d/2, è ò. ä. Ïîñëå êîíå÷íîãî ÷èñëà øàãîâ âñÿ ëèíèÿ l áóäåò
ïîêðûòà óêàçàííûìè øàðàìè. Òî÷êà y îêàæåòñÿ âíóòðè íåêîòîðîãî øàðà,
îòêóäà è áóäåò ñëåäîâàòü, ÷òî u(y) = u0 . Òåì ñàìûì äîêàçàíî, ÷òî åñëè u
íå ðàâíà òîæäåñòâåííî ïîñòîÿííîé, òî åå íàèáîëüøåå çíà÷åíèå íå ìîæåò
äîñòèãàòüñÿ âíóòðè Ω. Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî âíóòðè Ω óíêöèÿ
u íå ìîæåò ïðèíèìàòü è íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ.
  Çàìå÷àíèå 3.2.
Ôàêòè÷åñêè èç äî-                                y
êàçàòåëüñòâà ïðèí-                     x0
öèïà ìàêñèìóìà âû-
òåêàåò áîëåå ñèëü-
íûé àêò î òîì, ÷òî
ãàðìîíè÷åñêàÿ â Ω                          Ω
óíêöèÿ íå ìîæåò
ïðèíèìàòü âíóòðè
îáëàñòè Ω íè ëîêàëü-
íûõ ìàêñèìóìîâ, íè
ëîêàëüíûõ ìèíèìó-
ìîâ.                                      èñ. 3.2
   Ïîëåçíî îáðàòèòü
âíèìàíèå íà òî, ÷òî ïðè äîêàçàòåëüñòâå âñåõ ïðèâåäåííûõ âûøå ñâîéñòâ
ãàðìîíè÷åñêèõ óíêöèé ìû èñïîëüçîâàëè ðàçíûå äîïîëíèòåëüíûå óñëî-
âèÿ, êàñàþùèåñÿ ïîâåäåíèÿ ðàññìàòðèâàåìûõ óíêöèé íà ãðàíèöå. Òàê,
ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 3.1 ìû ïîòðåáîâàëè, ÷òîáû óíêöèÿ u áûëà
íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìà âïëîòü äî ãðàíèöû Γ, êîòîðàÿ, ê òîìó æå,
ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî ãëàäêîé. Ýòè óñëîâèÿ íåîáõîäèìû äëÿ òîãî, ÷òîáû ìîæíî
áûëî âîñïîëüçîâàòüñÿ îðìóëîé ðèíà (2.6).
   Â òî æå âðåìÿ òåîðåìû 3.2 è 3.3 ñïðàâåäëèâû è äëÿ íåñâÿçíûõ íåîãðàí-
íè÷åííûõ â îáùåì ñëó÷àå îòêðûòûõ ìíîæåñòâ, ïîñêîëüêó îíè íîñÿò ëî-
êàëüíûé õàðàêòåð. Íàêîíåö, äëÿ ñïðàâåäëèâîñòè òåîðåìû 3.4 ñóùåñòâåí-
íû êàê îãðàíè÷åííîñòü, òàê è ñâÿçíîñòü ìíîæåñòâà Ω.  ÷àñòíîñòè, îíà
íå ñïðàâåäëèâà äëÿ ìíîæåñòâà Ω = Ω1 ∪ Ω2 , ãäå Ω1 è Ω2  äâà íåïåðåñå-
êàþùèõñÿ øàðà. ×òîáû óáåäèòüñÿ â ýòîì, äîñòàòî÷íî âçÿòü óíêöèþ u,
ðàâíóþ 1 â Ω1 è 2 â Ω2 . Óêàçàííàÿ óíêöèÿ u ãàðìîíè÷íà â Ω, ïðèíèìàåò
ñâîå íàèìåíüøåå çíà÷åíèå, ðàâíîå 1, â ëþáîé âíóòðåííåé òî÷êå øàðà Ω1 , à

                                  118

Страницы