Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 116 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

x
0
Ω
Γ
′
⊂ Ω u Ω u
Γ
′
u
Γ
′
Γ
′
u(x
0
) =
1
4π
Z
Γ
′
1
|x − x
0
|
∂u(x)
∂n
x
− u(x)
∂
∂n
x
1
|x − x
0
|
σ
x
.
x
0
6∈ Γ
′
1/|x − x
0
|
x
0
, y
0
, z
0
x
0
x
0
, y
0
, z
0
u
u
Ω x
0
∈ Ω
u(x
0
) =
1
4πa
2
Z
Γ
a
u(x)
σ,
Γ
a
a x
0
Ω
Ω x
0
∈ Ω
Γ
a
a x
0
Γ
a
u
B
a
≡ B
a
(x
0
)
a x
0
∈ Ω Γ
a
u(x
0
) =
1
4π
Z
Γ
a
1
|x − x
0
|
∂u(x)
∂n
x
− u(x)
∂
∂n
x
1
|x − x
0
|
σ.
|x − x
0
| = a Γ
a
Z
Γ
a
∂u
∂n
σ = 0,
∂
∂n
1
|x − x
0
|
=
∂
∂r
1
r
= −
1
r
2
= −
1
a
2
Γ
a
,
  Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó          x0 âíóòðè Ω è îêðó-
æèì åå ãëàäêîé ïîâåðõíîñòüþ Γ ⊂ Ω. Òàê êàê u ãàðìîíè÷íà â Ω, òî u è
                                ′

ïîäàâíî ãàðìîíè÷íà âíóòðè Γ′ . Êðîìå òîãî, u äâàæäû íåïðåðûâíî äèå-
ðåíöèðóåìà âïëîòü äî ãðàíèöû Γ′ . Ïðèìåíÿÿ îðìóëó (2.23) äëÿ îáëàñòè,
ëåæàùåé âíóòðè Γ′ , ïîëó÷èì
                     Z                                     
                   1        1    ∂u(x)         ∂     1
          u(x0) =                      − u(x)                 dσx .  (3.3)
                  4π     |x − x0| ∂nx         ∂nx |x − x0 |
                     Γ′

Òàê êàê x0 6∈ Γ′ , òî óíêöèÿ 1/|x − x0 | êàê óíêöèÿ äåêàðòîâûõ êîîð-
äèíàò x0 , y0 , z0 òî÷êè x0 íåïðåðûâíà è èìååò íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå
ëþáîãî ïîðÿäêà. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðàâóþ ÷àñòü â (3.3) ìîæíî äèåðåíöè-
ðîâàòü ïî êîîðäèíàòàì x0 , y0 , z0 ïîä çíàêîì èíòåãðàëà ñêîëüêî óãîäíî ðàç.
Òî æå ñàìîå ñïðàâåäëèâî è äëÿ ëåâîé ÷àñòè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî óíêöèÿ
u áåñêîíå÷íî äèåðåíöèðóåìà. Âòîðîå óòâåðæäåíèå ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì
ïåðâîãî óòâåðæäåíèÿ è ëèíåéíîñòè îïåðàòîðà Ëàïëàñà.
   Òåîðåìà 3.3 (òåîðåìà î ñðåäíåì çíà÷åíèè). Åñëè óíêöèÿ u ãàðìî-
íè÷íà â íåêîòîðîé îáëàñòè Ω, òî â ëþáîé òî÷êå x0 ∈ Ω ñïðàâåäëèâà
îðìóëà
                                      1
                                         Z
                            u(x0) =         u(x)dσ,                   (3.4)
                                    4πa2
                                           Γa

íàçûâàåìàÿ îðìóëîé î ñðåäíåì çíà÷åíèè äëÿ ãàðìîíè÷åñêîé óíêöèè.
Çäåñü Γa  ñåðà ðàäèóñà a ñ öåíòðîì â òî÷êå x0 , öåëèêîì ëåæàùàÿ â
îáëàñòè Ω.
   Ýòî ñâîéñòâî óòâåðæäàåò, äðóãèìè ñëîâàìè, ÷òî çíà÷åíèå ãàðìîíè÷å-
ñêîé â îáëàñòè Ω óíêöèè â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå x0 ∈ Ω ðàâíî ñðåäíåìó
çíà÷åíèþ ýòîé óíêöèè íà ëþáîé ñåðå Γa ðàäèóñà a ñ öåíòðîì â x0 , åñëè
ñåðà Γa öåëèêîì ñîäåðæèòñÿ â îáëàñòè ãàðìîíè÷íîñòè óíêöèè u.
   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèìåíèì îðìóëó (2.23) ê øàðó Ba ≡ Ba (x0 ) ðà-
äèóñà a ñ öåíòðîì â òî÷êå x0 ∈ Ω ñ ãðàíèöåé Γa . Áóäåì èìåòü
                      Z                                      
                    1        1     ∂u(x)         ∂     1
           u(x0) =                       − u(x)                 dσ. (3.5)
                   4π     |x − x0 | ∂nx         ∂nx |x − x0 |
                     Γa

Ó÷èòûâàÿ â ñèëó òåîðåìû 3.1, ÷òî |x − x0 | = a íà Γa ,
                                      
       ∂u           ∂     1          ∂ 1           1   1
     Z
          dσ = 0,                 =           = − 2 = − 2 íà Γa ,
       ∂n          ∂n |x − x0 |      ∂r r         r    a
     Γa

èç (3.5) ïðèõîäèì ê îðìóëå (3.4).

                                     116

Страницы