Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 114 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

(n = 1) u
′′
= 0
u(x) = C
1
x + C
2
x
(a, b) u ∈ C
2
(a, b)
u
′′
= 0
x
n
[a, b] x b a
n
du(a)
dn
+
du(b)
dn
=
du(a)
d(−x)
+
du(b)
dx
= 0.
u (a, b)
(a, b)
(a, b) u (α + β)/2
[α, β] (a, b)
u [α, β]
u [α, β]
u
α + β
2
=
1
β − α
Z
β
α
u(x)
x =
u(α) + u(β)
2
.
(a, b) u
(a, b)
(a, b)
(a, b)
u(x) ≡ const
(a, b) [a, b]
x = a x = b
R
n
R
n
R
n
n Ω ⊂ R
n
Γ = ∂Ω Ω
Ω Ω
   Ÿ3. Ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà ãàðìîíè÷åñêèõ óíêöèé

  3.1. Ñëó÷àé óíêöèé îäíîé ïåðåìåííîé.               ñëó÷àå îäíîãî èçìå-
ðåíèÿ (n = 1) óðàâíåíèå Ëàïëàñà (1.2) ïðèíèìàåò âèä u′′ = 0. Îáùèì
ðåøåíèåì ýòîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíàÿ óíêöèÿ u(x) = C1 x + C2 .
Ïîýòîìó, åñëè íàçâàòü ãàðìîíè÷åñêîé óíêöèåé îäíîé ïåðåìåííîé x, èçìå-
íÿþùåéñÿ â èíòåðâàëå (a, b), óíêöèþ u ∈ C 2 (a, b), ÿâëÿþùóþñÿ ðåøåíèåì
óðàâíåíèÿ u′′ = 0, òî òàêîå îïðåäåëåíèå ãàðìîíè÷åñêîé óíêöèè ýêâè-
âàëåíòíî îïðåäåëåíèþ ëèíåéíîé óíêöèè. Îòñþäà ïðîèñòåêàþò îñíîâíûå
ñâîéñòâà ãàðìîíè÷åñêèõ óíêöèé îäíîé ïåðåìåííîé x. Ïåðå÷èñëèì èõ.
    1) Åñëè ïðèíÿòü çà íàïðàâëåíèå âíåøíåé íîðìàëè n ê ãðàíèöå îòðåçêà
[a, b] íà îñè x â òî÷êå b íàïðàâëåíèå ýòîãî îòðåçêà, à â òî÷êå a  ïðîòèâî-
ïîëîæíîå íàïðàâëåíèå, òî äëÿ ëþáîé ëèíåéíîé óíêöèè ñóììà çíà÷åíèé
ïåðâûõ ïðîèçâîäíûõ ýòîé óíêöèè ïî íàïðàâëåíèþ n â êîíöàõ îòðåçêà
ðàâíà íóëþ, ò. å.
                   du(a) du(b)   du(a)   du(b)
                        +      =       +       = 0.                   (3.1)
                    dn    dn     d(−x)    dx
  2) Ôóíêöèÿ u, ëèíåéíàÿ (ãàðìîíè÷åñêàÿ) â (a, b), áåñêîíå÷íî äèåðåí-
öèðóåìà è àíàëèòè÷íà âíóòðè (a, b).
  3) Äëÿ ëèíåéíîé íà (a, b) óíêöèè u åå çíà÷åíèå â öåíòðå (α + β)/2
ëþáîãî èíòåðâàëà [α, β], ëåæàùåãî âíóòðè (a, b), ðàâíî ñðåäíåìó çíà÷åíèþ
óíêöèè u íà [α, β], à òàêæå ñðåäíåìó àðèìåòè÷åñêîìó çíà÷åíèé óíê-
öèè u íà êîíöàõ èíòåðâàëà [α, β], ò. å.
                                Z β
                 α+β         1                   u(α) + u(β)
             u            =             u(x)dx =             .
                   2        β−α α                     2
   Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî âñÿêàÿ íåïðåðûâíàÿ â èíòåðâàëå (a, b) óíêöèÿ u,
îáëàäàþùàÿ îäíèì èç óêàçàííûõ ñâîéñòâ â 3), ëèíåéíà íà (a, b).
   4) Ëèíåéíàÿ íà (a, b) óíêöèÿ íå ìîæåò ïðèíèìàòü ñâîå íàèáîëüøåå
èëè íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ âíóòðè èíòåðâàëà (a, b), çà èñêëþ÷åíèåì òîãî
ñëó÷àÿ, êîãäà u(x) ≡ const.
   5) Ëèíåéíàÿ íà (a, b) óíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ íà [a, b], îäíîçíà÷íî îïðå-
äåëÿåòñÿ ñâîèìè çíà÷åíèÿìè â êîíöàõ x = a è x = b ýòîãî èíòåðâàëà.
   Ýòè ñâîéñòâà ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ è íà ãàðìîíè÷åñêèå óíêöèè â Rn .
  3.2. Îñíîâíûå ñâîéñòâà ãàðìîíè÷åñêèõ óíêöèé â ïðîñòðàí-
ñòâå Rn . Îñíîâûâàÿñü íà èíòåãðàëüíûõ îðìóëàõ Ÿ 2, âûâåäåì çäåñü ðÿä
îñíîâíûõ ñâîéñòâ ãàðìîíè÷åñêèõ óíêöèé, ðàññìàòðèâàåìûõ â ïðîñòðàí-
ñòâå Rn n èçìåðåíèé. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ω ⊂ Rn ïðîèçâîëüíîå îòêðûòîå
ìíîæåñòâî ñ ãðàíèöåé Γ = ∂Ω. Îáû÷íî ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî Ω
ñâÿçíî, ò. å. ÷òî Ω  îáëàñòü.  ñëó÷àå, êîãäà Ω  îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü,

                                    114

Страницы