Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

−
1
ω
n
Z
Ω
∆u(x)
1
|x − x
0
|
n−2
x
R
n
C
c(x
0
)
c(x
0
) = 1/2 x
0
Γ u Ω
Cu(x
0
) =
1
2π
Z
Γ
ln
1
|x − x
0
|
∂u(x)
∂n
x
− u( x)
∂
∂n
x
ln
1
|x − x
0
|
σ
x
.
x
0
∈ Ω
u(x
0
) =
1
2π
Z
Γ
ln
1
|x − x
0
|
∂u(x)
∂n
x
− u( x)
∂
∂n
x
ln
1
|x − x
0
|
σ
x
.
                          1                     1
                               Z
                        −          ∆u(x)               dx            (2.25)
                          ωn               |x − x0|n−2
                               Ω
â ïðîñòðàíñòâå Rn . Â îáåèõ îðìóëàõ êîíñòàíòà C îïðåäåëÿåòñÿ îäíèì è
òåì æå ñîîòíîøåíèåì (2.21), ãäå ïîñòîÿííàÿ c(x0 ) èìååò óêàçàííûé âûøå
ñìûñë.  ÷àñòíîñòè, c(x0 ) = 1/2, åñëè x0 ïðèíàäëåæèò ãëàäêîìó êóñêó
ãðàíèöû Γ. Åñëè u  ãàðìîíè÷åñêàÿ â Ω óíêöèÿ, òî, íàïðèìåð, îðìóëà
(2.24) ïðèíèìàåò âèä
                Z                                          
              1            1     ∂u(x)         ∂     1
    Cu(x0) =         ln                − u(x)    ln           dσ x . (2.26)
             2π         |x − x0 | ∂nx         ∂nx |x − x0 |
                 Γ

Åñëè, êðîìå òîãî, x0 ∈ Ω, òî îðìóëà (2.26) ïðèíèìàåò âèä
               Z                                          
             1            1     ∂u(x)         ∂     1
    u(x0) =         ln                − u(x)    ln           dσx .   (2.27)
            2π         |x − x0 | ∂nx         ∂nx |x − x0 |
                Γ

  Çàìå÷àíèå 2.2. Îòìåòèì, ÷òî íåêîòîðûå èíòåãðàëû, âõîäÿùèå â ïî-
ëó÷åííûå âûøå îðìóëû, ÿâëÿþòñÿ íåñîáñòâåííûìè èëè ñèíãóëÿðíûìè.
Ïîýòîìó âñå ïðèâåäåííûå îðìóëû ñëåäóåò ïîíèìàòü òàê, ÷òî ïðè âûïîë-
íåíèè óñëîâèé òåîðåìû 2.4 ñóùåñòâóþò âñå íåñîáñòâåííûå ëèáî ñèíãóëÿð-
íûå èíòåãðàëû, âõîäÿùèå â ýòè îðìóëû, à ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñïðàâåäëèâû
âñå ýòè îðìóëû.




                                      113

Страницы