Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

C = C(x
0
) =
1, x
0
∈ Ω,
c(x
0
), x
0
∈ ∂Ω,
0, x
0
6∈
Ω,
c(x
0
) ∈ [0, 1] x
0
x
0
c(x
0
) =
1/2
x
0
Γ x
0
Γ x
0
Γ x
0
c(x
0
) = α/4π α
Γ x
0
Ω u
Cu(x
0
) =
1
4π
Z
Γ
1
|x − x
0
|
∂u(x)
∂n
x
− u(x)
∂
∂n
x
1
|x − x
0
|
σ
x
.
x
0
∈ Ω
u(x
0
) =
1
4π
Z
Γ
1
|x − x
0
|
∂u(x)
∂n
x
− u(x)
∂
∂n
x
1
|x − x
0
|
σ
x
.
R
2
R
n
v(x) = ln(1/|x − x
0
|)
|x − x
0
| ≡
p
(x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
x x
0
v(x) = 1/(ω
n
|x − x
0
|
n−2
) |x − x
0
| =
p
(x
1
− x
0
1
)
2
+ (x
2
− x
0
2
)
2
+ . . . + (x
n
− x
0
n
)
2
n ≥ 3
ω
n
R
n
Cu(x
0
) =
1
2π
Z
Γ
ln
1
|x − x
0
|
∂u(x)
∂n
x
− u(x)
∂
∂n
x
ln
1
|x − x
0
|
σ
x
−
−
1
2π
Z
Ω
∆u(x) ln
1
|x − x
0
|
x
R
2
Cu(x
0
) =
1
ω
n
Z
Γ
1
|x − x
0
|
n−2
∂u(x)
∂n
x
− u(x)
∂
∂n
x
1
|x − x
0
|
n−2
σ
x
−
Çäåñü                                
                                      1,     x0 ∈ Ω,
                         C = C(x0) =   c(x0), x0 ∈ ∂Ω,                     (2.21)
                                       0,     x0 6∈ Ω,
                                     

ãäå c(x0 ) ∈ [0, 1]  íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ, çíà÷åíèå êîòîðîé â òî÷êå x0
çàâèñèò îò ñâîéñòâ ãðàíèöû â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 .  ÷àñòíîñòè, c(x0 ) =
1/2, åñëè x0 ëåæèò âíóòðè ãëàäêîãî êóñêà ãðàíèöû Γ. Åñëè æå x0 ÿâëÿåòñÿ
êîíè÷åñêîé òî÷êîé ïîâåðõíîñòè Γ, ò. å. â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 ïîâåðõíîñòü
Γ èìååò âèä êîíóñà ñ âåðøèíîé â òî÷êå x0, òî òîãäà c(x0) = α/4π , ãäå α 
âåëè÷èíà òåëåñíîãî óãëà, îáðàçîâàííîãî êàñàòåëüíûìè ê Γ â òî÷êå x0 [35,
ñ. 287℄.
   Îòìåòèì òàêæå, ÷òî äëÿ ãàðìîíè÷åñêîé â Ω óíêöèè u îðìóëà (2.20)
ïðèíèìàåò âèä
                     Z                                     
                   1        1     ∂u(x)         ∂     1
       Cu(x0) =                         − u(x)                dσx . (2.22)
                  4π     |x − x0 | ∂nx         ∂nx |x − x0|
                     Γ

 ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà x0 ∈ Ω, îðìóëà (2.22) ïåðåõîäèò â îðìóëó
                  Z                                     
                1        1     ∂u(x)         ∂     1
       u(x0) =                       − u(x)                d σx . (2.23)
               4π     |x − x0 | ∂nx         ∂nx |x − x0|
                    Γ

    Àíàëîãè÷íûå îðìóëû ñïðàâåäëèâû íà ïëîñêîñòè R2 è â ïðîñòðàíñòâå
Rn ëþáîãî ÷èñëà èçìåðåíèé. ×òîáû âûâåñòè ñîîòâåòñòâóþùèå îðìóëû,
äîñòàòî÷íîp    ïîëîæèòü âî âòîðîé îðìóëå ðèíà v(x) = ln(1/|x − x0 |), ãäå
|x − x0 | ≡ (x − x0)2 + (y − y0 )2  ðàññòîÿíèå îò x äî òî÷êè x0 íà ïëîñêî-
ñòè, ëèáî v(x) = 1/(ωn|x − x0 |n−2 ), |x − x0 | =
p
   (x1 − x01 )2 + (x2 − x02)2 + . . . + (xn − x0n )2 â ñëó÷àå n ≥ 3 èçìåðåíèé, ãäå
ωn  ïëîùàäü åäèíè÷íîé ñåðû â Rn (ñì. Ÿ 1), è ïîâòîðèòü ïðîâåäåííûå âû-
øå ðàññóæäåíèÿ. Â ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé èíòåãðàëüíîé îð-
ìóëå
                       Z                                              
                     1              1    ∂u(x)            ∂      1
       Cu(x0) =             ln                  − u(x)      ln           dσx −
                    2π         |x − x0| ∂nx              ∂nx |x − x0 |
                     Γ

                              1                     1
                                  Z
                           −          ∆u(x) ln             dx              (2.24)
                             2π                  |x − x0 |
                                  Ω
íà ïëîñêîñòè R è èíòåãðàëüíîé îðìóëå
                2
                 Z                                           
               1          1      ∂u(x)         ∂       1
     Cu(x0) =                          − u(x)                   dσx −
              ωn     |x − x0 |n−2 ∂nx         ∂nx |x − x0|n−2
                    Γ

                                          112

Страницы