Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

ε → 0
Ω
ε
ε → 0
−4πu(x
0
)
S
ε
n x
x − x
0
r = |x − x
0
| = ε
∂
∂n
x
1
r
= −
∂
∂r
1
r
=
1
r
2
=⇒
∂
∂n
x
1
r
S
ε
=
1
ε
2
,
I
1
(x
0
) ≡
Z
S
ε
u
∂
∂n
x
1
r
σ =
1
ε
2
Z
S
ε
u
σ.
u ∈ C
1
(Ω)
S
ε
4πε
2
I
1
(x
0
) = 4πu(x
ε
)
x
ε
S
ε
ε → 0
u
lim
ε→0
I
1
(x
0
) ≡ lim
ε→0
Z
S
ε
u
∂
∂n
x
1
r
σ = 4πu(x
0
).
u ∈ C
1
(Ω) C > 0 |∂u/∂n| ≤
C
Ω
Z
S
ε
1
r
∂u
∂n
x
σ
≤ C
1
ε
Z
S
ε
σ = 4πCε → 0 ε → 0.
              à)                        á)                â)


                                        èñ. 2.1


ïðåäåëó ïðè ε → 0. Èíòåãðàë â ëåâîé ÷àñòè (2.13) ïåðåõîäèò â ñîîòâåòñòâó-
þùèé (íåñîáñòâåííûé) èíòåãðàë ïî âñåé îáëàñòè Ω, êîòîðûé ñóùåñòâóåò ïî
óñëîâèþ òåîðåìû. Ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè (2.13) îò ε íå çàâèñèò.
Ïîêàæåì, ÷òî âòîðîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè (2.13) ïðè ε → 0 ñòðåìèòñÿ
ê −4πu(x0 ).
   Äåéñòâèòåëüíî, íà ñåðå Sε íàïðàâëåíèå âíåøíåé íîðìàëè n â òî÷êå x
ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíèþ âåêòîðà x − x0 , ïðè÷åì r = |x − x0 | = ε.
Ïîýòîìó
                  ∂ 1      ∂ 1    1        ∂ 1        1
                       =−       = 2 =⇒            = 2,             (2.14)
                 ∂nx r     ∂r r   r       ∂nx r Sε ε
òàê ÷òî
                                 ∂ 1        1
                            Z                 Z
                   I1(x0) ≡ u         dσ = 2     udσ.              (2.15)
                                ∂nx r      ε
                                   Sε              Sε

Íàïîìíèì, ÷òî â ñèëó ïðåäïîëîæåíèé òåîðåìû 2.4 u ∈ C 1 (Ω). Ïðèìåíèì ñ
ó÷åòîì ýòîãî ê ïðàâîé ÷àñòè (2.15) òåîðåìó î ñðåäíåì çíà÷åíèè. Ó÷èòûâàÿ,
÷òî ïëîùàäü ñåðû Sε ðàâíà 4πε2 , ïîëó÷èì â èòîãå, ÷òî I1 (x0 ) = 4πu(xε ),
ãäå xε  íåêîòîðàÿ òî÷êà íà ñåðå Sε. Ïåðåõîäÿ çäåñü ê ïðåäåëó ïðè ε → 0,
ïîëó÷èì â ñèëó íåïðåðûâíîñòè óíêöèè u, ÷òî
                                       ∂ 1
                                  Z
                 lim I1(x0) ≡ lim u         dσ = 4πu(x0 ).          (2.16)
                 ε→0          ε→0     ∂nx r
                                        Sε

  Ïîñêîëüêó u ∈ C 1 (Ω), òî íàéäåòñÿ òàêàÿ ïîñòîÿííàÿ C > 0, ÷òî |∂u/∂n| ≤
C íà Ω. Íî òîãäà èìååì

             1 ∂u         1
         Z                    Z
                   dσ ≤ C          dσ = 4πCε → 0    ïðè    ε → 0.    (2.17)
             r ∂nx        ε
        Sε                    Sε



                                             110

Страницы