Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

x
1
, x
2
, ..., x
n
∆u =
∂
2
u
∂x
2
1
+
∂
2
u
∂x
2
2
+ . . . +
∂
2
u
∂x
2
n
, ∇u =
∂u
∂x
1
,
∂u
∂x
2
, . . . ,
∂u
∂x
n
,
divv =
∂v
1
∂x
1
+
∂v
2
∂x
2
+ . . . +
∂v
n
∂x
n
,
∂u
∂n
=
∂u
∂x
1
n
1
+
∂u
∂x
2
n
2
+ . . . +
∂u
∂x
n
n
n
.
v
1
, v
2
, ..., v
n
n
1
, n
2
, ..., n
n
v n
R
3
R
2
R
n
n ≥ 4
n
C
2
Ω R
3
Γ, x
0
∈ Ω u ∈ C
2
(Ω) ∩ C
1
(Ω)
x
0
∈ Ω
Z
Ω
∆u(x)
x
|x − x
0
|
.
u(x
0
) =
1
4π
Z
Γ
1
|x − x
0
|
∂u(x)
∂n
x
− u(x)
∂
∂n
x
1
|x − x
0
|
σ −
1
4π
Z
Ω
∆u(x)
|x − x
0
|
x,
C
2
u ∈ C
2
(Ω)
Ω B
ε
(x
0
) ⊂ Ω ε
x
0
Ω
ε
S
ε
B
ε
(x
0
)
u v = 1/r
r = |x − x
0
| Ω
ε
v Ω
ε
Z
Ω
ε
∆u
r
x =
Z
Γ
1
r
∂u
∂n
x
− u
∂
∂n
x
1
r
σ
x
+
Z
S
ε
1
r
∂u
∂n
x
− u
∂
∂n
x
1
r
σ
x
.
n Ω
ε
∂u/∂n
n x σ
x
x x
0
êîîðäèíàò x1 , x2, ..., xn îðìóëàìè
             ∂ 2u ∂ 2u          ∂ 2u
                                                                             
                                                          ∂u ∂u         ∂u
        ∆u =     +     + . . . + 2 , ∇u =                    ,    ,...,           ,
             ∂x21 ∂x22          ∂xn                       ∂x1 ∂x2       ∂xn
            ∂v1 ∂v2                   ∂vn        ∂u     ∂u      ∂u               ∂u
   divv =           +      + ...+            ,      =      n1 +     n2 + . . . +     nn .
            ∂x1 ∂x2                   ∂xn ∂n ∂x1                ∂x2              ∂xn
Çäåñü v1 , v2 , ..., vn ëèáî (n1 , n2 , ..., nn)  êîìïîíåíòû âåêòîðà v (ëèáî n) â äå-
êàðòîâîì áàçèñå. ×òî êàñàåòñÿ îðìóëû Ñòîêñà (2.9), òî åå ìîæíî ñ÷èòàòü
ñïðàâåäëèâîé ëèøü äëÿ ïðîñòðàíñòâà R3 ëèáî ïëîñêîñòè R2 , ïîñêîëüêó
èìåííî â ýòèõ ñëó÷àÿõ îïðåäåëåí îïåðàòîð rot.  ïðèíöèïå, ìîæíî îïðå-
äåëèòü íåêèé àíàëîã îïåðàòîðà rot è â Rn ïðè n ≥ 4 è âûïèñàòü íåêèé
n-ìåðíûé àíàëîã îðìóëû Ñòîêñà (2.9). Îäíàêî íèæå óêàçàííàÿ îðìóëà
íàì íå ïîòðåáóåòñÿ.
                                                                                  2
   2.2. Èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå óíêöèè èç êëàññà C .
   Òåîðåìà 2.4. Ïóñòü Ω  îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü ïðîñòðàíñòâà R3 ñ
êóñî÷íî-ãëàäêîé ãðàíèöåé Γ, x0 ∈ Ω, è ïóñòü óíêöèÿ u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω)
òàêîâà, ÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êè x0 ∈ Ω ñóùåñòâóåò íåñîáñòâåííûé èíòå-
ãðàë
                                               ∆u(x)dx
                                          Z
                                                        .
                                               |x − x0|
                                     Ω
Òîãäà ñïðàâåäëèâà îðìóëà
            Z                                     
          1        1    ∂u(x)         ∂     1              1    ∆u(x)
                                                             Z
 u(x0) =                      − u(x)                 dσ −                dx,
         4π     |x − x0| ∂nx         ∂nx |x − x0 |        4π   |x − x0 |
               Γ                                                       Ω
                                                                       (2.12)
íàçûâàåìàÿ èíòåãðàëüíûì ïðåäñòàâëåíèåì ðèíà óíêöèè èç êëàññà C 2 .
   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òî u ∈ C 2 (Ω). Âûðåæåì
èç îáëàñòè Ω øàð Bε (x0 ) ⊂ Ω äîñòàòî÷íî ìàëîãî ðàäèóñà ε ñ öåíòðîì â
òî÷êå x0 è îáîçíà÷èì ÷åðåç Ωε îñòàâøóþñÿ ÷àñòü îáëàñòè, à ÷åðåç Sε 
ïîâåðõíîñòü øàðà Bε (x0 ) (ñì. ðèñ. 2.1a).
   Ïðèìåíÿÿ âòîðóþ îðìóëó ðèíà (2.7) ê óíêöèÿì u è v = 1/r, ãäå
r = |x − x0 |, â îáëàñòè Ωε, áóäåì èìåòü ñ ó÷åòîì ãàðìîíè÷íîñòè óíêöèè
v â Ωε, âûòåêàþùåé èç ëåììû 1.1:
               Z                          Z                 
     ∆u             1 ∂u      ∂ 1               1 ∂u      ∂ 1
  Z
         dx =             −u         d σx +           −u         dσx . (2.13)
      r             r ∂nx    ∂nx r              r ∂nx    ∂nx r
 Ωε                Γ                             Sε

Çäåñü n  åäèíè÷íûé âåêòîð âíåøíåé íîðìàëè ê îáëàñòè Ωε , ∂u/∂n  ïðî-
èçâîäíàÿ ïî âíåøíåé íîðìàëè n. Èíäåêñ  x â äèåðåíöèàëå dσx â ïî-
âåðõíîñòíîì èíòåãðàëå îçíà÷àåò, ÷òî â ïîâåðõíîñòíîì èíòåãðàëå èíòåãðè-
ðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ ïî ïåðåìåííîé x, à íå ïî x0 . Ïåðåéäåì òåïåðü â (2.13) ê

                                          109

Страницы