Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

S R
3
S
( ) S
Γ
( ) P, Q, R
S
( ), ( )
Z
S
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
y z +
∂P
∂z
−
∂R
∂x
z x +
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
x y =
=
I
Γ
P
x + Q y + R z,
Γ
S
Z
S
rotv · n
σ =
I
Γ
v ·t s.
t Γ
S s Γ v · t
v
Γ rotv
v
rotv =
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
i +
∂P
∂z
−
∂R
∂x
j +
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
k.
rotv
S
v Γ
rotv
S v Γ
S
S Γ
   Ïóñòü äàëåå S  ïîâåðõíîñòü â R3 . Íàçîâåì åå îêðåñòíîñòüþ ëþáîå îò-
êðûòîå ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå S . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ óñëî-
âèÿ
   (2æ) S  îãðàíè÷åííàÿ êóñî÷íî-ãëàäêàÿ äâóñòîðîííÿÿ ïîâåðõíîñòü ñ
êóñî÷íî-ãëàäêîé ãðàíèöåé Γ;
   (2ç) óíêöèè P, Q, R íåïðåðûâíû è íåïðåðûâíî-äèåðåíöèðóåìû â
íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ïîâåðõíîñòè S .
   Òîãäà ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà (ñì. [19, ñ. 182℄):
   Òåîðåìà 2.2 Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (2æ), (2ç) ñïðàâåäëèâà îðìóëà
     Z                                                
         ∂R ∂Q                ∂P   ∂R              ∂Q ∂P
            −       dy dz +      −       dz dx +      −      dx dy =
      S  ∂y    ∂z             ∂z    ∂x             ∂x   ∂y
                            I
                         = P dx + Qdy + Rdz,                         (2.8)
                             Γ
íàçûâàåìàÿ îðìóëîé Ñòîêñà. Ïðè ýòîì ñòîÿùèé â ïðàâîé ÷àñòè (2.8)
èíòåãðàë ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó èíòåãðàëîâ ïî ñâÿçíûì êîìïîíåí-
òàì ãðàíèöû Γ, íà êîòîðûõ óêàçàíî ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå îáõî-
äà (ïðè êîòîðîì ñ ó÷åòîì âûáîðà ñòîðîíû ïîâåðõíîñòè ïîâåðõíîñòü S
îñòàåòñÿ ñëåâà).
    âåêòîðíîé çàïèñè îðìóëà (2.8) èìååò ñ ó÷åòîì îáîçíà÷åíèé (2.3) âèä
                       Z              I
                         rotv · ndσ = v · tds.                      (2.9)
                         S               Γ

Çäåñü t  åäèíè÷íûé âåêòîð êàñàòåëüíîé â òî÷êàõ ãðàíèöû Γ ïîâåðõíîñòè
S , ds  ýëåìåíò äëèíû äóãè ãðàíèöû Γ, ñêàëÿð v · t íàçûâàåòñÿ êàñàòåëü-
íîé (èëè òàíãåíöèàëüíîé) êîìïîíåíòîé âåêòîðíîãî ïîëÿ v îòíîñèòåëüíî
ãðàíè÷íîé êðèâîé Γ, òîãäà êàê rotv ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðîòîð (èëè âèõðü)
âåêòîðíîãî ïîëÿ v, îïðåäåëÿåìûé â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò îðìó-
ëîé
                                                     
                ∂R ∂Q           ∂P   ∂R        ∂Q ∂P
       rotv =      −       i+      −      j+        −       k.     (2.10)
                ∂y    ∂z        ∂z   ∂x        ∂x      ∂y
 ñîîòâåòñòâèè ñ èçè÷åñêèì ñìûñëîì ïîâåðõíîñòíîãî èíòåãðàëà [19, . 143℄
ëåâàÿ ÷àñòü îðìóëû (2.9) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîòîê âåêòîðíîãî ïîëÿ rotv
÷åðåç ïîâåðõíîñòü S . Ïðàâàÿ ÷àñòü â (2.9) íîñèò íàçâàíèå öèðêóëÿöèè âåê-
òîðíîãî ïîëÿ v ïî êðèâîé Γ. Ñ ó÷åòîì ýòîãî îðìóëà (2.9) ïî ñâîåìó èçè-
÷åñêîìó ñìûñëó îçíà÷àåò, ÷òî ïîòîê âåêòîðíîãî ïîëÿ rotv ÷åðåç ïîâåðõ-
íîñòü S ðàâåí öèðêóëÿöèè âåêòîðíîãî ïîëÿ v ïî êðèâîé Γ, ÿâëÿþùåéñÿ
ãðàíèöåé ïîâåðõíîñòè S . Îòìåòèì ïðè ýòîì, ÷òî äëÿ çàäàííîé ïîâåðõíî-
ñòè S ãðàíèöà Γ îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî. Îäíàêî äëÿ çàäàííîé ãðàíèöû

                                   107

Страницы