Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u v
Z
Ω
v∆u
x =
Z
Γ
v
∂u
∂n
σ −
Z
Ω
∇u · ∇v x.
Z
Ω
(u∆v − v∆u)
x =
Z
Γ
u
∂v
∂n
− v
∂u
∂n
σ.
Ω
u v
u, v ∈ C
1
(Ω) ∩ C(Ω)
(2a) Ω u v
u ∈ C
1
(Ω) ∩ C(Ω) v ∈ C
2
(Ω) ∩ C
1
(Ω)
u ∈ C
2
(Ω) ∩ C
1
(Ω) v ∈ C
1
(Ω) ∩ C(Ω)
(2a)
u, v ∈ C
2
(Ω) ∩ C
1
(Ω)
Ω
′
u ∈ C
1
(Ω)
′
u ∈ C
1
(Ω) v ∈ C
2
(Ω)
′
u ∈ C
2
(Ω) v ∈ C
1
(Ω)
′
u, v ∈ C
2
(Ω)
Γ
Ω
Ω
R
2
R
n
Ìåíÿÿ â (2.5) ìåñòàìè u è v , áóäåì èìåòü
                                   ∂u
                 Z             Z          Z
                    v∆udx = v dσ − ∇u · ∇v dx.                     (2.6)
                                  ∂n
                   Ω         Γ           Ω

Âû÷èòàÿ (2.6) èç (2.5), ïðèõîäèì êî âòîðîé îðìóëå ðèíà
                                     Z             
                                           ∂v    ∂u
               Z
                  (u∆v − v∆u) dx =       u    −v      dσ.          (2.7)
                                           ∂n    ∂n
               Ω                    Γ

   Èç âûâîäà îðìóëû (2.4) è òåîðåìû 2.1 ñëåäóåò, ÷òî îðìóëà èíòåãðè-
ðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì (2.4) ñïðàâåäëèâà ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (2à) íà Ω è
âûïîëíåíèè ñëåäóþùèõ óñëîâèé íà u è v :
   (2â) u, v ∈ C 1 (Ω) ∩ C(Ω).
   Òî÷íî òàê æå îðìóëà ðèíà (2.5) (ëèáî (2.6)) ñïðàâåäëèâà ïðè âûïîë-
íåíèè óñëîâèÿ (2a) íà Ω è ñëåäóþùèõ óñëîâèé íà u è v :
   (2ã) u ∈ C 1 (Ω) ∩ C(Ω), v ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω),
ëèáî
   (2ä) u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω), v ∈ C 1 (Ω) ∩ C(Ω).
   Íàêîíåö, îðìóëà (2.7) ñïðàâåäëèâà ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (2a) è
óñëîâèÿ
   (2å) u, v ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω).
àçóìååòñÿ, åùå îäíèì äîïîëíèòåëüíûì óñëîâèåì ñïðàâåäëèâîñòè âñåõ îð-
ìóë (2.4)(2.7) ÿâëÿåòñÿ ñõîäèìîñòü âñåõ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ ïî îá-
ëàñòè Ω, ñòîÿùèõ â ýòèõ îðìóëàõ. Îäíàêî, åñëè âìåñòî óñëîâèé (2â)(2å)
âûïîëíÿþòñÿ áîëåå æåñòêèå óñëîâèÿ:
   (2â′ ) u ∈ C 1 (Ω), ëèáî (2ã′) u ∈ C 1 (Ω), v ∈ C 2 (Ω),
èëè
   (2ä′ ) u ∈ C 2 (Ω), v ∈ C 1 (Ω), ëèáî (2å′ ) u, v ∈ C 2 (Ω),
òî òîãäà âñå íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû, ñòîÿùèå â îðìóëàõ (2.4)(2.7), ïå-
ðåõîäÿò â ñîáñòâåííûå, òàê ÷òî óêàçàííîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåí-
íûõ èíòåãðàëîâ, åñòåñòâåííî, ñíèìàåòñÿ.
   Çàìå÷àíèå 2.1. Îòìåòèì, ÷òî ñîãëàñíî óñëîâèþ (2à) îðìóëû ðèíà, à
òàêæå îðìóëà (2.4) ñïðàâåäëèâû êàê äëÿ îäíîñâÿçíûõ ëèáî ìíîãîñâÿçíûõ
îáëàñòåé, òàê è äëÿ íåñâÿçíûõ ìíîæåñòâ, ñîñòîÿùèõ èç íåñêîëüêèõ îáëà-
ñòåé, ò. å. ñâÿçíûõ îòêðûòûõ ìíîæåñòâ. Òî÷íî òàê æå ãðàíèöà Γ ìíîæåñòâà
Ω ìîæåò áûòü êàê ñâÿçíîé, òàê è íåñâÿçíîé, ò. å. ñîñòîÿùåé èç íåñêîëüêèõ
ñâÿçíûõ êîìïîíåíò.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå ïîâåðõíîñòíûå èíòåãðàëû ñëåäóåò
áðàòü ïî âñåì ïîâåðõíîñòÿì, îãðàíè÷èâàþùèì Ω. Àíàëîãè÷íûå îðìóëû
 ðèíà èìåþò ìåñòî êàê íà ïëîñêîñòè R2 , òàê â ïðîñòðàíñòâå Rn ëþáîãî
÷èñëà èçìåðåíèé.


                                  106

Страницы