Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

x
0
|x − x
0
| < δ δ
′
< (δ/2)
|x −x
0
| < δ
′
F y ∈ Ω\B
δ
ε/3 x
x
0
Γ n = 2
C
l
l ∈ N B
r
(x
0
) x
0
∈ Γ
F
x
0
(x) = 0 F
x
0
∈ C
l
(B
r
(x
0
)) l ≥ 1
F
′
x
0
6= 0 l ≥ 1
Ω
Γ
Γ
i
Γ
i
Γ
Ω R
3
P, Q, R : Ω → R
Ω
Ω
Γ
P, Q, R ∈ C
1
(Ω) ∩ C(Ω)
Ω
x0 , åñëè |x − x0| < δ . Âûáåðåì äàëåå ÷èñëî δ ′ < (δ/2) è ïðåäïîëîæèì,
÷òî |x − x0 | < δ ′ . Ïðè âûïîëíåíèè ýòîãî óñëîâèÿ ïåðâûé èíòåãðàë â (1.46)
ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì. Ïîñêîëüêó F íåïðåðûâíà ïðè y ∈ Ω\Bδ , òî ïî ñâîé-
ñòâó íåïðåðûâíîñòè ñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà ïî ïàðàìåòðó (ñì. òåîðåìó 1.1)
ïåðâîå ñëàãàåìîå ïðàâîé ÷àñòè (1.46) áóäåò ìåíüøå ε/3, åñëè x âûáðàòü äî-
ñòàòî÷íî áëèçêèì ê x0 .
    Èññëåäîâàíèå äèåðåíöèðóåìîñòè ïî ïàðàìåòðó íåñîáñòâåííîãî èíòå-
ãðàëà âèäà (1.34) òðåáóåò ïðîâåäåíèÿ íåñêîëüêî áîëåå òîíêèõ ðàññóæäåíèé,
íà ÷åì ìû íå áóäåì çäåñü îñòàíàâëèâàòüñÿ. Èíòåðåñóþùèéñÿ ÷èòàòåëü ìî-
æåò íàéòè äåòàëüíîå èññëåäîâàíèå äèåðåíöèðóåìîñòè è äðóãèõ ñâîéñòâ
êðàòíûõ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ, çàâèñÿùèõ îò ïàðàìåòðà, â [50, ëåêöèÿ
7, Ÿ2℄, [16, ãë.17℄.

                        Ÿ2. Ôîðìóëû          ðèíà

  2.1. Ôîðìóëû      àóññà-Îñòðîãðàäñêîãî, Ñòîêñà è          ðèíà.    Âàæíóþ
ðîëü ïðè èññëåäîâàíèè ñâîéñòâ ðåøåíèé ýëëèïòè÷åñêèõ óðàâíåíèé èãðàþò
èíòåãðàëüíûå îðìóëû àóññà-Îñòðîãðàäñêîãî, ðèíà è Ñòîêñà. Ïîñêîëü-
êó äîêàçàòåëüñòâî óêàçàííûõ îðìóë ïðèâîäèòñÿ â êóðñå ìàòåìàòè÷åñêîãî
àíàëèçà, òî îãðàíè÷èìñÿ çäåñü ïðèâåäåíèåì ñîîòâåòñòâóþùèõ îðìóëèðî-
âîê, ñëåäóÿ [19℄.
     Íàïîìíèì íåêîòîðûå îïðåäåëåíèÿ, ñâÿçàííûå ñ îáëàñòÿìè è èõ ãðàíè-
öàìè. îâîðÿò, ÷òî ïîâåðõíîñòü Γ (êðèâàÿ ïðè n = 2) ïðèíàäëåæèò êëàññó
C l , l ∈ N, åñëè â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè Br (x0) êàæäîé òî÷êè x0 ∈ Γ
îíà îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Fx0 (x) = 0, ãäå Fx0 ∈ C l (Br (x0 )), è ïðè l ≥ 1
gradFx′ 0 6= 0. Ïðè l ≥ 1 ïîâåðõíîñòü íàçûâàåòñÿ ãëàäêîé. ðàíèöà òðåõìåð-
íîé îáëàñòè Ω íàçûâàåòñÿ êóñî÷íî-ãëàäêîé, åñëè îíà ñîñòàâëåíà èç êîíå÷-
íîãî ÷èñëà ãëàäêèõ ïîâåðõíîñòåé, ïðèìûêàþùèõ äðóã ê äðóãó ïî ãëàäêèì
êðèâûì-ðåáðàì ïîâåðõíîñòè. Åñëè ãðàíèöà Γ ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî ÷èñëà
çàìêíóòûõ êóñî÷íî-ãëàäêèõ ïîâåðõíîñòåé Γi , òî Γi íàçûâàþò ñâÿçíûìè
êîìïîíåíòàìè Γ. Íèæå áóäåì èìåòü äåëî ñ êðàòíûìè, êðèâîëèíåéíûìè,
ïîâåðõíîñòíûìè èíòåãðàëàìè, êàê ñîáñòâåííûìè, òàê è íåñîáñòâåííûìè
ëèáî ñèíãóëÿðíûìè. Ñâîéñòâà óêàçàííûõ èíòåãðàëîâ äîñòàòî÷íî îñâåùå-
íû â òàêèõ êíèãàõ êàê [16℄, [18℄, [19℄, [47℄, à òàêæå ⠟ 1.
     Ïóñòü Ω  íåêîòîðîå ìíîæåñòâî â ïðîñòðàíñòâå R3 è P, Q, R : Ω → R
 çàäàííûå â Ω óíêöèè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ
     (2à) Ω  îãðàíè÷åííîå îòêðûòîå ìíîæåñòâî ñ êóñî÷íî-ãëàäêîé ãðàíèöåé
Γ;
     (2á) P, Q, R ∈ C 1 (Ω) ∩ C(Ω).
     Â [19, . 188℄ äîêàçàíà òåîðåìà
     Òåîðåìà 2.1. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (2à), (2á) è ïóñòü ñóùå-
ñòâóþò íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû ïî Ω îò êàæäîé èç ÷àñòíûõ ïðîèç-

                                     104

Страницы