Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 102 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

λ < 3
ε δ
0
> 0
x, y ∈ Ω ⊂ R
2
λ < 2
R
3
Z
Γ
F (x, y)ρ(y)dσ
y
, x ∈ Γ,
Γ
λ = 1
∂
∂x
i
1
|x − y|
≡
|x
i
− y
i
|
|x − y|
3
≤
1
|x − y|
2
, x 6= y, i = 1, 2, 3,
λ = 2
x ∈ Ω
F
λ =
1
e
1
= n
y
F (x, y) ≡
1
4π
∂
∂n
y
1
|x − y|
=
1
4π
x − y
|x − y|
3
· n
y
=⇒ |F (x, y)| ≤
1
4π
1
|x − y|
2
.
λ = 2
x ∈ Γ
n
n
x
λ n n
λ n − 1 n
Òàê êàê λ < 3, òî ïðàâàÿ ÷àñòü â (1.41) ìîæåò áûòü ñäåëàíà ìåíüøå ëþáîãî
ε ïóòåì âûáîðà äîñòàòî÷íî ìàëîãî δ0 > 0.
   Çàìå÷àíèå 1.4. Îòìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå äâóõ èçìåðåíèé óñëîâèå ðàâ-
íîìåðíîé ñõîäèìîñòè äâîéíîãî íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà âèäà (1.34) ïðè
x, y ∈ Ω ⊂ R2 èìååò òàêæå âèä (1.38), íî ïðè λ < 2. Ýòî æå óñëîâèå ÿâ-
ëÿåòñÿ óñëîâèåì ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííîãî ïîâåðõíîñòíîãî
èíòåãðàëà â R3 âèäà
                        Z
                           F (x, y)ρ(y)dσy , x ∈ Γ,                (1.42)
                        Γ

åñëè Γ îáëàäàåò îïðåäåëåííîé ðåãóëÿðíîñòüþ, íàïðèìåð, ÿâëÿåòñÿ ïîâåðõ-
íîñòüþ Ëÿïóíîâà (ñì. Ÿ 2 ãë. 7).
   ßñíî, ÷òî äëÿ èíòåãðàëà (1.25) óñëîâèå (1.38) âûïîëíÿåòñÿ ïðè λ = 1.
Äàëåå, ïîñêîëüêó â ñèëó (1.16) èìååì
                 
       ∂      1         |xi − yi |      1
                     ≡             ≤          , x 6= y, i = 1, 2, 3, (1.43)
      ∂xi |x − y|       |x − y|3     |x − y|2
òî äëÿ èíòåãðàëîâ â (1.36) óñëîâèå (1.38) âûïîëíÿåòñÿ ïðè λ = 2. Ïîýòîìó
âñå èíòåãðàëû â (1.25) è (1.36) ÿâëÿþòñÿ ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèìèñÿ â ëþáîé
òî÷êå x ∈ Ω. Àíàëîãè÷íûé àêò î ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ñïðàâåäëèâ ñ
ó÷åòîì çàìå÷àíèÿ 1.4 è äëÿ ïîòåíöèàëà ïðîñòîãî ñëîÿ (1.26), èìåþùåãî âèä
(1.42), ãäå óíêöèÿ F îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé (1.35), ïîñêîëüêó äëÿ íåãî
äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè (1.38) âûïîëíÿåòñÿ ïðè λ =
1. ×òî êàñàåòñÿ ïîòåíöèàëà äâîéíîãî ñëîÿ (1.27), òî ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé
(1.16) è (1.19) ïðè e1 = ny èìååì
             1 ∂      1     1 x−y                             1    1
 F (x, y) ≡               =            · n y =⇒ |F (x, y)| ≤             .
            4π ∂ny |x − y| 4π |x − y|3                       4π |x − y|2
                                                                     (1.44)
Ïîýòîìó äëÿ íåãî óñëîâèå (1.38) âûïîëíÿåòñÿ ëèøü ïðè λ = 2, ÷åãî íå äî-
ñòàòî÷íî äëÿ ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííîãî ïîâåðõíîñòíîãî èí-
òåãðàëà. Ýòî íå ñëó÷àéíî, à ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë,
îïðåäåëÿþùèé ïîòåíöèàë äâîéíîãî ñëîÿ (1.27) ïðè x ∈ Γ, íå ÿâëÿåòñÿ
ñõîäÿùèìñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì 1.3, õîòÿ ñõîäèòñÿ êàê ñèíãó-
ëÿðíûé èíòåãðàë â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1.4 (ñì. Ÿ 2 ãë. 7).
   Çàìå÷àíèå 1.5. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ââîäÿòñÿ ïîíÿòèÿ íåñîáñòâåí-
íîãî è ñèíãóëÿðíîãî èíòåãðàëîâ â ïðîñòðàíñòâå ëþáîãî ÷èñëà n èçìåðåíèé,
à òàêæå ïîíÿòèå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè â òî÷êå n-ìåðíîãî íåñîáñòâåííî-
ãî èíòåãðàëà, çàâèñÿùåãî îò ïàðàìåòðà x. Ïðè ýòîì äîñòàòî÷íîå óñëîâèå
ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè èìååò âèä (1.38) ïðè λ

Страницы