Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

B
δ
0
(x
0
) δ
0
x
0
x
0
∈ Ω ε > 0
δ
0
= δ
0
(ε) J x ∈ B
δ
0
(x
0
) ∩Ω
Z
ω
δ
∩Ω
F (x, y)ρ(y)dy
< ε
ω
δ
δ ≤ δ
0
x
0
x x
0
δ
U(x
0
)
x
0
C > 0 λ < 3
|F (x, y)| ≤
C
|x − y|
λ
∀x, y ∈ U(x
0
) ∩
Ω, x 6= y.
x
0
B
δ
0
(x
0
)
x
0
ω
δ
δ ≤ δ
0
x
0
x ∈ B
δ
0
(x
0
)
Z
ω
δ∩ Ω
F (x, y)ρ(y)dy
≤
Z
ω
δ
∩Ω
|F (x, y)||ρ(y)|dy
≤ CM
Z
B
2δ
0
(x)
dy
|x − y|
λ
.
B
2δ
0
(x) 2δ
0
x
r, θ, ϕ x r = |x − y|
Z
B
2δ
0
(x)
dy
|x − y|
λ
=
2π
Z
0
dϕ
π
Z
0
sinθdθ
2δ
0
Z
0
r
2
r
λ
dr = 4π
2δ
0
Z
0
r
2−λ
dr =
4π
3 − λ
(2δ
0
)
3−λ
.
δ ≤ δ
0
Z
ω
δ
∩Ω
F (x, y)ρ(y)dy
≤
4π
3 − λ
(2δ
0
)
3−λ
.
ñòâåííûõ èíòåãðàëîâ âèäà (1.34) èãðàåò ïîíÿòèå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè
èíòåãðàëà â òî÷êå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Bδ0 (x0 ) øàð ðàäèóñà δ0 ñ öåíòðîì â
x0 .
    Îïðåäåëåíèå 1.5. Èíòåãðàë (1.34) íàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíî ñõîäÿ-
ùèìñÿ â òî÷êå x0 ∈ Ω, åñëè äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå
÷èñëî δ0 = δ0 (ε), ÷òî: 1) J ñõîäèòñÿ â êàæäîé òî÷êå x ∈ Bδ0 (x0 ) ∩ Ω è 2)
íåðàâåíñòâî
                            Z
                                F (x, y)ρ(y)dy < ε                   (1.37)
                                 ωδ ∩Ω
âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ëþáîé îáëàñòè ωδ äèàìåòðà δ ≤ δ0 , ñîäåðæàùåé â ñåáå
òî÷êó x0 , è äëÿ ëþáîé òî÷êè x, ðàññòîÿíèå îò êîòîðîé äî x0 ìåíüøå δ .
    Ëåììà 1.4. (Äîñòàòî÷íûé ïðèçíàê ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè). Ïóñòü
ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (i)(iii) ñóùåñòâóåò òàêàÿ îêðåñòíîñòü U (x0 )
òî÷êè x0 è òàêèå êîíñòàíòû C > 0 è λ < 3, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíî-
øåíèå
                              C
              |F (x, y)| ≤          ∀x, y ∈ U (x0) ∩ Ω, x 6= y.      (1.38)
                           |x − y|λ
Òîãäà èíòåãðàë (1.34) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî â òî÷êå x0 .
    Äîêàçàòåëüñòâî. àññìîòðèì øàð Bδ0 (x0 ), ëåæàùèé â óïîìÿíóòîé
îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 . Òîãäà äëÿ ëþáîé îáëàñòè ωδ äèàìåòðà δ ≤ δ0 , ñîäåð-
æàùåé â ñåáå x0 , è ëþáîé òî÷êè x ∈ Bδ0 (x0 ) áóäåò âûïîëíÿòüñÿ ñ ó÷åòîì
(ii) óñëîâèå

                                                                                  dy
      Z                            Z                                   Z
            F (x, y)ρ(y)dy ≤              |F (x, y)||ρ(y)|dy ≤ CM                       .
                                                                               |x − y|λ
     ωδ∩Ω                         ωδ ∩Ω                             B2δ0 (x)
                                                                                      (1.39)
Çäåñü B2δ0 (x)  øàð ðàäèóñà 2δ0 ñ öåíòðîì â òî÷êå x.
   Äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà â ïðàâîé ÷àñòè (1.39) ïåðåéäåì ê ñåðè÷å-
ñêèì êîîðäèíàòàì r, θ, ϕ ñ öåíòðîì â x. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî r = |x − y|, áóäåì
èìåòü
                   Z2π Zπ         Z2δ0 2          Z2δ0
           dy                         r                           4π
   Z
                                                        2−λ
               λ
                 =    dϕ   sinθdθ       λ
                                          dr = 4π     r     dr =     (2δ0)3−λ.
       |x − y|                        r                          3−λ
 B2δ0 (x)            0       0              0             0
                                                                                      (1.40)
Èç (1.39) è (1.40) ñëåäóåò, ÷òî ïðè δ ≤ δ0

                                                       4π
                         Z
                             F (x, y)ρ(y)dy ≤             (2δ0)3−λ.                   (1.41)
                                                      3−λ
                     ωδ ∩Ω

                                                101

Страницы