Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

E
n
n
Γ n = 2
λ
λ
|ln |x − y|| ≤ C|x − y|
−λ
∀x, y ∈ Q, x 6= y,
Q R
2
λ ∈ (0, 1) C = C(Q)
x
0
∈ Ω
x
0
ε > 0
δ > δ(ε) x ∈ Ω
|x − x
0
| < δ
|J(x) − J(x
0
)| < ε.
B
δ
≡ B
δ
(x
0
)
J(x) J(x
0
) Ω∩ B
δ
(x
0
)
Ω\B
δ
(x
0
)
|J(x) − J(x
0
)| =
Z
Ω
[F (x, y) − F (x
0
, y)]ρ(y)dy
≤
≤
Z
Ω\B
δ
[F (x, y) − F (x
0
, y)]ρ(y)dy
+
Z
Ω∩B
δ
F (x, y)ρ(y)dy
+
Z
Ω∩B
δ
F (x
0
, y)ρ(y)dy
.
δ > 0
ε/3
àíàëîãà ïîâåðõíîñòíîãî èíòåãðàëà (1.42). Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, âûòåêàåò
ñ ó÷åòîì ñâîéñòâ ñèíãóëÿðíîãî ðåøåíèÿ En ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü n-
ìåðíûõ îáúåìíîãî ïîòåíöèàëà è ïîòåíöèàëà ïðîñòîãî ñëîÿ â (1.28). Ïî-
ñëåäíåå èìååò ìåñòî ïðè óêàçàííîì âûøå óñëîâèè îïðåäåëåííîé ðåãóëÿð-
íîñòè ïîâåðõíîñòè Γ. Íàêîíåö, îòìåòèì, ÷òî ïðè n = 2 äîñòàòî÷íîå óñëîâèå
ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè èìååò âèä (1.38) ïðè λ<2 äëÿ äâîéíîãî èíòåãðà-
ëà âèäà (1.34) è âèä (1.38) ïðè λ<1 äëÿ êðèâîëèíåéíîãî íåñîáñòâåííîãî
èíòåãðàëà âèäà (1.44). Îòñþäà, ñ ó÷åòîì î÷åâèäíîãî íåðàâåíñòâà
                  | ln |x − y|| ≤ C|x − y|−λ ∀x, y ∈ Q, x 6= y,
ãäå Q  ïðîèçâîëüíîå îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî â R2 , ñïðàâåäëèâîãî äëÿ
ëþáîãî ÷èñëà λ ∈ (0, 1) ñ íåêîòîðîé êîíñòàíòîé C = C(Q), âûòåêàåò ðàâ-
íîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ëîãàðèìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà è ëîãàðèìè÷åñêîãî
ïîòåíöèàëà ïðîñòîãî ñëîÿ â (1.29).
   Èñïîëüçîâàíèå ïîíÿòèÿ ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ èíòå-
ãðàëîâ, çàâèñÿùèõ îò ïàðàìåòðà, ïîçâîëÿåò óñòàíîâèòü ðÿä èõ ñâîéñòâ. Â
÷àñòíîñòè, ñïðàâåäëèâà
   Òåîðåìà 1.2. Ïóñòü â óñëîâèÿõ ëåììû 1.4 èíòåãðàë (1.34) ñõîäèòñÿ
ðàâíîìåðíî â òî÷êå x0 ∈ Ω. Òîãäà èíòåãðàë (1.34) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé
óíêöèåé â òî÷êå x0 .
   Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ε > 0
íàéäåòñÿ òàêîå ÷èñëî δ > δ(ε), ÷òî äëÿ êàæäîé òî÷êè x ∈ Ω, óäîâëåòâîðÿ-
þùåé óñëîâèþ |x − x0 | < δ , âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
                               |J(x) − J(x0)| < ε.                          (1.45)
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî àêòà âîçüìåì øàð Bδ ≡ Bδ (x0 ) è ðàçîáüåì
êàæäûé èç èíòåãðàëîâ J(x) è J(x0 ) íà äâà ñëàãàåìûõ: ïî îáëàñòè Ω∩Bδ (x0 )
è ïî îáëàñòè Ω\Bδ (x0 ). Ñ ó÷åòîì ýòîãî áóäåì èìåòü
                                   Z
               |J(x) − J(x0)| =         [F (x, y) − F (x0 , y)]ρ(y)dy ≤
                                   Ω

         Z                                         Z
    ≤          [F (x, y) − F (x0, y)]ρ(y)dy +            F (x, y)ρ(y)dy +   (1.46)
        Ω\Bδ                                      Ω∩Bδ

                               Z
                                       F (x0 , y)ρ(y)dy .
                             Ω∩Bδ
Ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì δ > 0 âòîðîå è òðåòüå ñëàãàåìûå â ïðàâîé ÷àñòè
(1.46) áóäóò ìåíüøå ε/3 â ñèëó ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà â òî÷êå

                                           103

Страницы