Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

P, Q R
Z
Ω
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
dx =
Z
Γ
(P cos α + Q cos β + R cos γ) dσ,
x = x y z σ
α, β γ n Γ
i, j k
Z
Ω
divv
x =
Z
Γ
v
n
σ ≡
Z
Γ
v · n
σ, v
n
≡ v · n.
v v
v = P i + Qj + Rk, divv =
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
.
P = uv, Q = 0 , R = 0
Z
Ω
∂
∂x
(uv)dx ≡
Z
Ω
∂u
∂x
v + u
∂v
∂x
dx =
Z
Γ
uv cos αdσ.
x x
i
Z
Ω
∂u
∂x
i
vdx = −
Z
Ω
u
∂v
∂x
i
dx +
Z
Γ
uv cos(n, x
i
)dσ,
R
3
P = u∂v/∂x Q = u∂v/∂y R = u∂v/∂z
Z
Ω
u∆v
x =
Z
Γ
u
∂v
∂n
σ −
Z
Ω
∇u · ∇v x.
∇u · ∇v =
∂u
∂x
∂v
∂x
+
∂u
∂y
∂v
∂y
+
∂u
∂z
∂v
∂z
,
∂v/∂n
∂v
∂n
= ∇v · n =
∂v
∂x
cos α +
∂v
∂y
cos β +
∂v
∂z
cos γ
Γ.
âîäíûõ óíêöèé P, Q è R. Òîãäà ñïðàâåäëèâà îðìóëà
    Z                
        ∂P   ∂Q ∂R
                            Z
           +    +       dx = (P cos α + Q cos β + R cos γ) dσ,        (2.1)
        ∂x   ∂y    ∂z
   Ω                                    Γ

íàçûâàåìàÿ îðìóëîé àóññà-Îñòðîãðàäñêîãî.
   Çäåñü dx =dxdy dz  ýëåìåíò îáúåìà, dσ  ýëåìåíò ïëîùàäè ïîâåðõíî-
ñòè, α, β è γ  óãëû åäèíè÷íîé âíåøíåé íîðìàëè n ê ïîâåðõíîñòè Γ ñ
åäèíè÷íûìè îðòàìè i, j è k äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, ñîîòâåòñòâåí-
íî. Â âåêòîðíîé çàïèñè îðìóëà (2.1) èìååò âèä
              Z           Z         Z
                 divvdx = vndσ ≡ v · ndσ, vn ≡ v · n.             (2.2)
              Ω             Γ                 Γ

Çäåñü v (ëèáî divv)  âåêòîðíîå (ëèáî ñêàëÿðíîå) ïîëå, îïðåäåëÿåìûå â
äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò îðìóëàìè
                                                  ∂P   ∂Q ∂R
              v = P i + Qj + Rk, divv =              +    +    .      (2.3)
                                                  ∂x   ∂y   ∂z
  Ïîëàãàÿ â (2.1) P = uv, Q = 0, R = 0, áóäåì èìåòü
                         Z             
             ∂               ∂u     ∂v
         Z                                     Z
                (uv)dx ≡        v+u       dx = uv cos αdσ.
             ∂x              ∂x     ∂x
          Ω                Ω                            Γ

Çàìåíèâ çäåñü ïåðåìåííóþ x íà ïðîèçâîëüíóþ äåêàðòîâó êîîðäèíàòó xi,
ïðèõîäèì ê îðìóëå
                ∂u            ∂v
             Z             Z          Z
                    vdx = − u     dx + uv cos(n, xi)dσ,       (2.4)
                ∂xi           ∂xi
              Ω                 Ω                 Γ

íàçûâàåìîé îðìóëîé èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì â R3 .
   Ïîëàãàÿ â (2.1) P = u∂v/∂x, Q = u∂v/∂y , R = u∂v/∂z , ïðèõîäèì ê
ïåðâîé îðìóëå ðèíà
                                ∂v
                 Z          Z         Z
                    u∆v dx = u dσ − ∇u · ∇v dx.                (2.5)
                                ∂n
                  Ω                 Γ             Ω

Çäåñü
                             ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v
                      ∇u · ∇v =    +      +      ,
                             ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
à ∂v/∂n  ïðîèçâîäíàÿ ïî íîðìàëè, îïðåäåëÿåìàÿ îðìóëîé
          ∂v            ∂v         ∂v         ∂v
             = ∇v · n =    cos α +    cos β +    cos γ        íà Γ.
          ∂n            ∂x         ∂y         ∂z
                                            105

Страницы