Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

F
ρ
R
Ω
|ρ(y)|dy = I = const < ∞
R
Ω
|ρ(y)|dy
F Q × Ω
x
i
i = 1, 2, ..., n m ≤ ∞ J ∈ C
m
(Q)
J
(Ω, ρ) ρ
Ω x Q
Ω F
x ∈ Q y ∈ Ω
F (x, y) =
1
4π
1
|x −y|
,
(x, y) ∈
Q × Ω u
x
i
x ∈ Q u x
i
x
i
∂u(x)
∂x
i
=
1
4π
Z
Ω
∂
∂x
i
1
|x − y|
ρ(y)dy = −
1
4π
Z
Ω
x
i
− y
i
|x − y|
3
ρ(y)dy, i = 1, 2, 3.
x Ω
y = x
x ∈ Ω
ρ
x
i
x ∈ Ω
x ∈ Ω
Ω R
3
ρ Ω |ρ(y)| ≤ M ∀y ∈ Ω
F x ∈ Ω y ∈ Ω x 6= y
y → x ∈ Ω
Çäåñü óíêöèÿ F óäîâëåòâîðÿåò òåì æå óñëîâèÿì, ÷òî è â òåîðåìå 1.1,
à óíêöèÿ ρ àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà          â ñîáñòâåííîì èëè íåñîáñòâåííîì
ñìûñëå. Ïîñëåäíåå       îçíà÷àåò, ÷òî Ω |ρ(y)|dy = I = const < ∞, ïðè÷åì
                                     R

èíòåãðàë Ω |ρ(y)|dy ìîæåò áûòü êàê ñîáñòâåííûì, òàê è íåñîáñòâåííûì.
           R

Áîëåå òîãî, åñëè óíêöèÿ F èìååò íåïðåðûâíûå â Q × Ω ïðîèçâîäíûå ïî
xi, i = 1, 2, ..., n äî ïîðÿäêà m ≤ ∞, òî J ∈ C m (Q), ïðè÷åì ñîîòâåòñòâóþ-
ùèå ïðîèçâîäíûå óíêöèè J ïîëó÷àþòñÿ ïóòåì äèåðåíöèðîâàíèÿ ïîä
çíàêîì èíòåãðàëà.
   àññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà ïîòåíöèàë (1.25) ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ,
ñîçäàâàåìîãî ïàðîé (Ω, ρ). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ρ àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà â
Ω è ÷òî òî÷êà x èçìåíÿåòñÿ â íåêîòîðîé îãðàíè÷åííîé îáëàñòè Q, îòñòî-
ÿùåé îò Ω íà ïîëîæèòåëüíîì ðàññòîÿíèè. Òîãäà óíêöèÿ F àðãóìåíòîâ
x ∈ Q è y ∈ Ω, îïðåäåëÿåìàÿ îðìóëîé
                                        1    1
                          F (x, y) =              ,                  (1.35)
                                       4π |x − y|
ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî äèåðåíöèðóåìîé óíêöèåé àðãóìåíòîâ (x, y) ∈
Q × Ω.  òàêîì ñëó÷àå èç çàìå÷àíèÿ 1.3 ñëåäóåò, ÷òî ïîòåíöèàë u ÿâëÿ-
åòñÿ áåñêîíå÷íî äèåðåíöèðóåìîé óíêöèåé äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò xi
òî÷êè x ∈ Q, ïðè÷åì ïðîèçâîäíûå îò u ïî xi ïîëó÷àþòñÿ ïóòåì äèå-
ðåíöèðîâàíèÿ èíòåãðàëà â (1.34) ïî xi. Ó÷èòûâàÿ (1.16), ëåãêî âûâîäèì,
÷òî
   ∂u(x)    1    ∂     1                1    xi − yi
              Z                           Z
         =                  ρ(y)dy = −               ρ(y)dy, i = 1, 2, 3.
    ∂xi    4π   ∂xi |x − y|            4π   |x − y|3
              Ω                              Ω
                                                                   (1.36)
   Åñëè æå ïàðàìåòð x èçìåíÿåòñÿ â Ω, òî óíêöèÿ (1.35) îáðàùàåòñÿ â
áåñêîíå÷íîñòü â ñëó÷àå, êîãäà y = x. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êàæäàÿ òî÷êà
x ∈ Ω ÿâëÿåòñÿ îñîáîé òî÷êîé ïîäèíòåãðàëüíûõ óíêöèé èíòåãðàëîâ (1.25)
è (1.36), à ñàìè èíòåãðàëû ÿâëÿþòñÿ íåñîáñòâåííûìè, äàæå åñëè óíêöèÿ ρ
ÿâëÿåòñÿ ñêîëü óãîäíî ãëàäêîé. Åñòåñòâåííî, âîçíèêàåò âîïðîñ î ñâîéñòâàõ
íåïðåðûâíîñòè, èíòåãðèðóåìîñòè è äèåðåíöèðóåìîñòè ïî xi óêàçàííûõ
íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ, ðàññìàòðèâàåìûõ â òî÷êàõ x ∈ Ω.
   Îãðàíè÷èìñÿ íèæå èññëåäîâàíèåì íåñîáñòâåííûõ êðàòíûõ èíòåãðàëîâ
âèäà (1.34), çàâèñÿùèõ îò ïàðàìåòðà x ∈ Ω, ïðè ñëåäóþùèõ ïðåäïîëîæå-
íèÿõ:
   (i) Ω  îãðàíè÷åííîå (êóáèðóåìîå) îòêðûòîå ìíîæåñòâî â R3 ;
   (ii) ρ  îãðàíè÷åííàÿ èíòåãðèðóåìàÿ â Ω óíêöèÿ: |ρ(y)| ≤ M ∀y ∈ Ω;
   (iii) óíêöèÿ F äâóõ àðãóìåíòîâ x ∈ Ω è y ∈ Ω íåïðåðûâíà ïðè x 6= y
è íåîãðàíè÷åíà ïðè y → x ∈ Ω.
   ßñíî, ÷òî èíòåãðàëû (1.25) è (1.36) ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè íåñîá-
ñòâåííîãî èíòåãðàëà (1.34). Îñíîâíóþ ðîëü ïðè èññëåäîâàíèè ñâîéñòâ íåñîá-

                                    100

Страницы