Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

δ ω
δ
x
0
δ → 0
Ω ω
δ
f
Ω
Z
Ω
f(x)dx = lim
δ→0
Z
Ω\ω
δ
f(x)dx.
ω
δ
x
0
R
Ω
fdx
ω
δ
n
I = lim
n→∞
Z
Ω\ω
δ
n
f(x)dx,
I
I ω
δ
n
f x
0
∈ Ω
Z
Ω
f(x)dx = lim
n→∞
Z
Ω\B
δ
n
(x
0
)
f(x)dx.
δ îáîçíà÷åí äèàìåòð îáëàñòè ωδ , êîòîðàÿ ñòÿãèâàåòñÿ â òî÷êó x0 ïðè δ → 0.
àññìàòðèâàåìûå íèæå îáëàñòè Ω, ωδ è äðóãèå ìû âñåãäà ïðåäïîëàãàåì
êóáèðóåìûìè, ò. å. èìåþùèìè îáúåì, ëèáî êâàäðèðóåìûìè â ñëó÷àå äâóõ
èçìåðåíèé, ò. å. èìåþùèìè ïëîùàäü, íî íå îáÿçàòåëüíî ñâÿçíûìè.
   Îïðåäåëåíèå 1.3. Íåñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì îò óíêöèè f ïî îá-
ëàñòè Ω íàçûâàåòñÿ ïðåäåë
                      Z                 Z
                         f (x)dx = lim     f (x)dx.                  (1.30)
                                    δ→0
                          Ω            Ω\ωδ

Åñëè ýòîò ïðåäåë ñóùåñòâóåò, êîíå÷åí è íå çàâèñèò îò âûáîðà
                                                         R îáëàñòåé
ωδ , ñòÿãèâàþùèõñÿ â òî÷êó x0 , òî íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë Ω f dx íàçû-
âàåòñÿ ñõîäÿùèìñÿ.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå îí íàçûâàåòñÿ ðàñõîäÿùèìñÿ.
Åñëè ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îáëàñòåé ωδn òàêàÿ,
÷òî ñóùåñòâóåò ïðåäåë
                                   Z
                         I = lim       f (x)dx,
                               n→∞
                                  Ω\ωδn

à äëÿ äðóãèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé îáëàñòåé ýòîò ïðåäåë èìååò äðóãèå
çíà÷åíèÿ èëè âîîáùå íå ñóùåñòâóåò, òî ïðåäåë I íàçûâàåòñÿ óñëîâíî
ñõîäÿùèìñÿ íåñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì.




                    (à)                             (á)


                                 èñ. 1.3.


   ßñíî, ÷òî ïðè ðàñìîòðåíèè óñëîâíî ñõîäÿùåãîñÿ íåñîáñòâåííîãî èíòå-
ãðàëà I íóæíî óêàçûâàòü òó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îáëàñòåé ωδn , ïî êîòîðîé
îïðåäåëÿåòñÿ ýòîò èíòåãðàë. Ïðèìåðîì óñëîâíî ñõîäÿùåãîñÿ èíòåãðàëà ÿâ-
ëÿåòñÿ ñèíãóëÿðíûé èíòåãðàë. Â ïðèìåíåíèè ê òðîéíîìó íåñîáñòâåííîìó
èíòåãðàëó îò óíêöèè f , èìåþùåé îñîáåííîñòü â òî÷êå x0 ∈ Ω, îí îïðåäå-
ëÿåòñÿ êàê ïðåäåë
                    Z                 Z
                       f (x)dx = lim       f (x)dx.               (1.31)
                                 n→∞
                     Ω              Ω\Bδn (x0 )

                                    98

Страницы