Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

B
δ
n
(x
0
) δ
n
→ 0
x
0
x
0
∈ Ω
R
Ω
f(x)dx
B
δ
n
x
0
δ
n
→ 0
f Ω
n
Ω Q R
3
F
Q × Ω
J(x) =
Z
Ω
F (x, y)dy , x ∈ Q.
x ∈ Q
x
Q Ω R
3
F Q ×Ω x y
J Q
∂F
∂x
i
Q ×Ω J
x
i
Q
∂J(x)
∂x
i
≡
∂
∂x
i
Z
Ω
F (x, y)dy =
Z
Ω
∂F (x, y)
∂x
i
dy , x ∈
Q, i = 1, 2, 3.
J
x
Z
Q
J(x)dx =
Z
Q
dx
Z
Ω
F (x, y)dy =
Z
Ω
dy
Z
Q
F (x, y)dx.
J(x) =
Z
Ω
F (x, y)ρ(y)dy.
Çäåñü Bδn (x0 )  ñòÿãèâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü øàðîâ ðàäèóñà δn → 0 ñ
öåíòðîì â òî÷êå x0 .
   Îïðåäåëåíèå 1.4. Ïóñòü x0 ∈ Ω. Åñëè èíòåãðàë Ω f (x)dx ðàñõî-
                                                        R
äèòñÿ, íî ïðåäåë (1.31) ñóùåñòâóåò äëÿ ëþáîé ñòÿãèâàþùåé ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòè øàðîâ Bδn ñ öåíòðîì â òî÷êå x0 è íå çàâèñèò îò âûáîðà
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè δn → 0, òî ýòîò ïðåäåë íàçûâàåòñÿ ñèíãóëÿðíûì
èíòåãðàëîì îò óíêöèè f ïî Ω ëèáî ãëàâíûì çíà÷åíèåì ðàñõîäÿùåãîñÿ
èíòåãðàëà.
   Çàìå÷àíèå 1.2. Ïî àíàëîãè÷íîé ñõåìå îïðåäåëÿþòñÿ íåñîáñòâåííûå
ëèáî ñèíãóëÿðíûå êðàòíûå èíòåãðàëû â ïðîñòðàíñòâå ëþáîãî ÷èñëà èçìå-
ðåíèé n, à òàêæå íåñîáñòâåííûå è ñèíãóëÿðíûå ïîâåðõíîñòíûå èíòåãðàëû.
   Ïóñòü Ω è Q  íåêîòîðûå îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà R3 , è ïóñòü óíêöèÿ F
îïðåäåëåíà íà ïðîèçâåäåíèè Q × Ω. àññìîòðèì èíòåãðàë
                              Z
                        J(x) = F (x, y)dy, x ∈ Q.                 (1.32)
                             Ω

Åñëè äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ Q èíòåãðàë (1.32) ñóùåñòâóåò â ñîáñòâåííîì èëè
íåñîáñòâåííîì ñìûñëå, òî îí íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì èëè íåñîáñòâåííûì
èíòåãðàëîì, çàâèñÿùèì îò ïàðàìåòðà x.
   Õîðîøî èçâåñòåí ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò (ñì., íàïðèìåð, [10, ñ. 443℄).
   Òåîðåìà 1.1. Ïóñòü Q è Ω  îãðàíè÷åííûå îáëàñòè â R3 .
   1) Åñëè F íåïðåðûâíà â Q × Ω êàê óíêöèÿ äâóõ àðãóìåíòîâ x è y, òî
J ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé óíêöèåé òî÷êè x â Q.
   2) Åñëè, êðîìå òîãî, ïðîèçâîäíûå ∂x
                                    ∂F
                                      i
                                        íåïðåðûâíû â Q × Ω, òî J èìååò
ïðîèçâîäíóþ ïî xi, íåïðåðûâíóþ â Q, ïðè÷åì
    ∂J(x)     ∂                   ∂F (x, y)
                 Z              Z
          ≡        F (x, y)dy =             dy, x ∈ Q, i = 1, 2, 3. (1.33)
     ∂xi     ∂xi                    ∂xi
                Ω                Ω

   3) Â óñëîâèÿõ óòâåðæäåíèÿ 1 ñïðàâåäëèâî èíòåãðèðîâàíèå óíêöèè J
ïî ïàðàìåòðó x, ïðè÷åì
           Z          Z   Z              Z    Z
             J(x)dx = dx F (x, y)dy = dy F (x, y)dx.
          Q            Q     Ω              Ω     Q

  Çàìå÷àíèå 1.3. Ïðèâåäåííûå â òåîðåìå 1.1 óòâåðæäåíèÿ ëåãêî ðàñ-
ïðîñòðàíÿåòñÿ íà èíòåãðàëû âèäà
                              Z
                       J(x) = F (x, y)ρ(y)dy.                       (1.34)
                                 Ω


                                     99

Страницы