Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

n
Z
Ω
E
n
(x, y)ρ(y)dy,
Z
Γ
E
n
(x, y)ρ(y)dσ
y
,
Z
Γ
∂
∂n
y
E
n
(x, y)ρ(y)dσ
y
, x ∈ R
n
.
n ≥ 3
n = 2
1
2π
Z
Ω
ln
1
|x − y|
ρ(y)dy,
1
2π
Z
Γ
ln
1
|x − y|
ρ(y)dσ
y
,
1
2π
Z
Γ
∂
∂n
y
ln
1
|x − y|
ρ(y)dσ
y
,
x
Ω ⊂ R
3
f
x
0
∈ Ω
ω
δ
x
0
f
Ω\ω
δ
ω
δ
x
0
∈ Ω x
0
∈ ∂Ω
òàêæå èõ n-ìåðíûå àíàëîãè, îïðåäåëÿåìûå ñîîòíîøåíèÿìè
                                            ∂
 Z                  Z                    Z
   En (x, y)ρ(y)dy,   En (x, y)ρ(y)dσy ,       En (x, y)ρ(y)dσy , x ∈ Rn .
                                           ∂ny
 Ω                       Γ                         Γ
                                                                (1.28)
Íèæå ìû ïîêàæåì, ÷òî êàæäûé èç ïîòåíöèàëîâ â (1.28) ÿâëÿåòñÿ áåñêî-
íå÷íî äèåðåíöèðóåìîé âíå çàìûêàíèÿ ñâîåé îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ
óíêöèåé, óäîâëåòâîðÿþùåé óðàâíåíèþ Ëàïëàñà è ïðè n ≥ 3 óñëîâèþ (1.3)
íà áåñêîíå÷íîñòè. Òàêèì îáðàçîì, ïîòåíöèàëû (1.28) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé
âàæíûå ïðèìåðû ãàðìîíè÷åñêèõ óíêöèé. Ñ ó÷åòîì ýòîãî áóäåì ññûëàòü-
ñÿ íà íèõ êàê íà ãàðìîíè÷åñêèå ïîòåíöèàëû.  ÷àñòíîñòè, ïðè n = 2,
ïîòåíöèàëû (1.28), ïðèíèìàþùèå âèä
                          1         1
                            Z
                              ln         ρ(y)dy,
                         2π      |x − y|
                                  Ω

             1             1               1        ∂     1
                 Z                             Z
                     ln         ρ(y)dσy ,             ln       ρ(y)dσy ,   (1.29)
            2π          |x − y|           2π       ∂ny |x − y|
                 Γ                             Γ
íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ëîãàðèìè÷åñêèì (ïëîñêèì) ïîòåíöèàëîì, ëî-
ãàðèìè÷åñêèì ïîòåíöèàëîì ïðîñòîãî ñëîÿ è ëîãàðèìè÷åñêèì ïîòåí-
öèàëîì äâîéíîãî ñëîÿ.
     1.5. Íåñîáñòâåííûå êðàòíûå èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåò-
ðîâ.
   Ïðèâåäåííûå â ï. 1.4 ïîòåíöèàëû îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ òðîéíîãî
èëè ïîâåðõíîñòíîãî èíòåãðàëîâ, çàâèñÿùèõ îò ïàðàìåòðà, ðîëü êîòîðîãî
èãðàåò ïåðåìåííàÿ òî÷êà x. Îñîáåííîñòüþ ýòèõ èíòåãðàëîâ ÿâëÿåòñÿ òî,
÷òî èõ ïîäûíòåãðàëüíûå óíêöèè îáðàùàþòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü â ñëó÷àå,
êîãäà çíà÷åíèÿ ïîòåíöèàëà ðàññìàòðèâàþòñÿ â òî÷êàõ, ïðèíàäëåæàùèõ îá-
ëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ. Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå èíòåãðàëû,
íàçûâàåìûå íåñîáñòâåííûìè, íåëüçÿ îïðåäåëèòü êàê ïðåäåëû èíòåãðàëü-
íûõ ñóìì, à òðåáóåòñÿ åùå äîïîëíèòåëüíûé ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ïî ïî-
ñëåäîâàòåëüíîñòè îáëàñòåé èíòåãðèðîâàíèÿ. ×òîáû ãëóáæå ïîíÿòü ñâîé-
ñòâà ïîòåíöèàëîâ (1.25)(1.29), ïðèâåäåì â ýòîì ïóíêòå íåêîòîðûå âàæíûå
àêòû èç òåîðèè íåñîáñòâåííûõ êðàòíûõ èíòåãðàëîâ, çàâèñÿùèõ îò ïàðà-
ìåòðîâ. Íèæå îíè áóäóò øèðîêî èñïîëüçîâàòüñÿ ïðè èññëåäîâàíèè ñâîéñòâ
èíòåãðàëîâ òèïà ïîòåíöèàëîâ.
   Ïóñòü â îãðàíè÷åííîì îòêðûòîì ìíîæåñòâå Ω ⊂ R3 çàäàíà óíêöèÿ f ,
íåîãðàíè÷åííàÿ â îêðåñòíîñòè íåêîòîðîé òî÷êè x0 ∈ Ω, è ïóñòü äëÿ ëþáîé
îáëàñòè ωδ , ñîäåðæàùåé âíóòðè ñåáÿ òî÷êó x0 , óíêöèÿ f îãðàíè÷åíà è
èíòåãðèðóåìà â îáû÷íîì ñìûñëå â îáëàñòè Ω\ωδ . Óêàçàííàÿ îáëàñòü ωδ
çàøòðèõîâàíà íà ðèñ. 1.3à, ãäå x0 ∈ Ω, è íà ðèñ. 1.3á, ãäå x0 ∈ ∂Ω. Èíäåêñîì

                                         97

Страницы