Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

N (y
1
, q
1
) (y
2
, q
2
)
(y
N
, q
N
) y
1
, y
2
, ..., y
N
u(x) ≡ u(x; y
1
, y
2
, ..., y
N
) =
N
X
j=1
q
j
E
3
(x, y
j
) =
N
X
j=1
q
j
4π|x − y
j
|
.
Ω ⊂ R
3
ρ : Ω → R (Ω, ρ)
(Ω, ρ)
Ω N
Ω
j
Ω
j
Ω
j
→ 0 N → ∞
(Ω, ρ)
u(x) = U[Ω, ρ](x) =
Z
Ω
ρ(y)dy
4π|x − y|
.
dy Ω
x
x /∈ Ω x ∈ Ω
y → x ∈ Ω
ρ
Ω (Ω, ρ)
(Ω, ρ) ρ
Ω (Ω, ρ)
(Ω, ρ)
(Ω, ρ)
èëè ëèíèÿì. Ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ âû÷èñëèòü ïîòåíöèàëû ïîëåé, ñîçäàâà-
åìûõ óêàçàííûìè áîëåå ñëîæíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè çàðÿäîâ. Ïðèìåíèì
äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè è ñòàíäàðòíóþ ñõåìó ìå-
òîäà ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. àññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé, êîãäà â
ïðîñòðàíñòâå èìååòñÿ N òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ  ìîíîïîëåé (y1 , q1 ), (y2 , q2 ), ...,
(yN , qN ), ñîñðåäîòî÷åííûõ â òî÷êàõ y1 , y2, ..., yN . ×òîáû íàéòè ïîòåíöèàë
ñîçäàâàåìîãî èìè ïîëÿ, âîñïîëüçóåìñÿ ïðèíöèïîì ñóïåðïîçèöèè, â ñîîòâåò-
ñòâèè ñ êîòîðûì ïîòåíöèàë ñóììû çàðÿäîâ ðàâíÿåòñÿ ñóììå ïîòåíöèàëîâ
äàííûõ çàðÿäîâ. Ñ ó÷åòîì ýòîãî èìååì
                                       N                       N
                                       X                       X         qj
    u(x) ≡ u(x; y1 , y2, ..., yN ) =         qj E3(x, yj ) =                     .   (1.24)
                                       j=1                     j=1
                                                                     4π|x − yj |

    Ïóñòü äàëåå çàðÿäû ðàñïðåäåëåíû ïî íåêîòîðîé îáëàñòè Ω ⊂ R3 ñ îáú-
åìíîé ïëîòíîñòüþ ρ : Ω → R. Íà ñîîòâåòñòâóþùóþ ïàðó (Ω, ρ) áóäåì
ññûëàòüñÿ êàê íà îáúåìíûé çàðÿä. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïîòåíöèàëà ýëåêòðè÷å-
ñêîãî ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî ïàðîé (Ω, ρ), ðàçîáüåì, ñëåäóÿ ñõåìå ìåòîäà ìà-
òåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, îáëàñòü Ω íà N ýëåìåíòàðíûõ ïîäîáëàñòåé
Ωj , âû÷èñëèì ïðèáëèæåííî ïîòåíöèàëû ïîëåé, ñîçäàâàåìûõ çàðÿäàìè, ðàñ-
ïðåäåëåííûìè â Ωj , è ïåðåéäåì ê ïðåäåëó ïðè diamΩj → 0 è N → ∞. Èñ-
ïîëüçóÿ îðìóëó (1.24) è ðàññóæäàÿ, êàê ⠟ 3 ãë. 1, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
ïîòåíöèàë ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî óêàçàííûìè èñòî÷íèêàìè, ò. å. ïàðîé (Ω, ρ),
îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé
                                            ρ(y)dy
                                         Z
                    u(x) = U [Ω, ρ](x) =             .             (1.25)
                                           4π|x − y|
                                                  Ω

Çäåñü dy  ýëåìåíò îáúåìà â îáëàñòè Ω. Ïðàâàÿ ÷àñòü â (1.25) ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé îáúåìíûé èíòåãðàë, çàâèñÿùèé îò x êàê îò ïàðàìåòðà: ñîáñòâåííûé
ïðè x ∈ / Ω è íåñîáñòâåííûé ïðè x ∈ Ω (ïîñêîëüêó ïîäûíòåãðàëüíàÿ óíê-
öèÿ íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò ïðè y → x ∈ Ω). Óêàçàííûé îáúåìíûé
èíòåãðàë ïðèíÿòî íàçûâàòü îáúåìíûì ïîòåíöèàëîì. Â ðàññìàòðèâàåìîì
íàìè ñëó÷àå, êîãäà ρ îïèñûâàåò ïëîòíîñòü çàðÿäîâ, ðàñïðåäåëåííûõ â îá-
ëàñòè Ω, òàê ÷òî ïàðà (Ω, ρ) èìååò ñìûñë îáúåìíîãî çàðÿäà, èíòåãðàë â
(1.25) èìååò ñìûñë îáúåìíîãî ïîòåíöèàëà ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ. Íè-
æå íà íåãî áóäåì ññûëàòüñÿ êàê íà êóëîíîâ (îáúåìíûé) ïîòåíöèàë ïàðû
(Ω, ρ).  ñëó÷àå æå, åñëè ρ îïèñûâàåò ïëîòíîñòü ìàññ, ðàñïðåäåëåííûõ â îá-
ëàñòè Ω, òàê ÷òî ïàðà (Ω, ρ) èìååò ñìûñë îáúåìíîé ñèñòåìû ìàññ, ïðàâàÿ
÷àñòü â (1.25) èìååò ñìûñë îáúåìíîãî ïîòåíöèàëà ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ,
ñîçäàâàåìîãî ïàðîé (Ω, ρ). Äëÿ êðàòêîñòè íà íåãî áóäåì ññûëàòüñÿ êàê íà
íüþòîíîâ (îáúåìíûé) ïîòåíöèàë ïàðû (Ω, ρ).


                                             95

Страницы