Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

E
n
r = |x−y|
r = |x − y|
E
n
E
n
R
n
× R
n
→ R
x y E
n
(x, ·) y
x
E
n
(·, y)
E
n
(·, y)
∆
x
E
n
(x, y) = −δ(x, y).
x ∆ E
n
x δ(·, y) n δ
y ∈ Ω δ
δ(x, y)
y
R
∞
−∞
δ(x, y)dx
δ(x, y)
δ(x, y)
δ
D(R
n
) R
n
< δ(x, y), ϕ >= ϕ(y) ∀ϕ ∈ D(R
n
) < ·, ϕ >
ϕ ∈ D(R
n
)
E
n
(·, y)
E
n
(·, y)
Z
R
n
E
n
(x, y)∆ϕ(x)dx = −ϕ(y) ∀ϕ ∈ D(R
n
).
   4. Ôóíêöèÿ En çàâèñèò ëèøü îò îäíîé ñêàëÿðíîé ïåðåìåííîé r = |x−y|,
ïðè÷åì ëþáîå äðóãîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.2), çàâèñÿùåå îò r = |x − y|,
ìîæåò îòëè÷àòüñÿ îò En ëèøü ìóëüòèïëèêàòèâíîé è àääèòèâíîé ïîñòîÿí-
íûìè.
   5. Ôóíêöèÿ En : Rn × Rn → R ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîé óíêöèåé òî-
÷åê x è y; ïîýòîìó En(x, ·), ðàññìàòðèâàåìàÿ êàê óíêöèÿ òî÷êè y (ïðè
èêñèðîâàííîì x), îáëàäàåò âñåìè ïåðå÷èñëåííûìè âûøå ñâîéñòâàìè.
   Çàìå÷àíèå 1.1. Åùå îäíî ñâîéñòâî ñèíãóëÿðíîãî ðåøåíèÿ En (·, y) çà-
êëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî En (·, y) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì â ñìûñëå îáîáùåííûõ
óíêöèé íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà
                         ∆xEn (x, y) = −δ(x, y).                     (1.22)

Çäåñü èíäåêñ  x ó îïåðàòîðà ∆ îçíà÷àåò, ÷òî îí ïðèìåíÿåòñÿ ê En êàê
óíêöèè îò x, δ(·, y)  n-ìåðíàÿ δ -óíêöèÿ Äèðàêà ñ öåíòðîì â òî÷êå
y ∈ Ω. Êàñàÿñü δ -óíêöèè, îòìåòèì, ÷òî âïåðâûå îíà áûëà ââåäåíà â
1923 ã. Ï. Äèðàêîì, êîòîðûé â îäíîìåðíîì ñëó÷àå îïðåäåëèë δ(x, y) êàê
óíêöèþ, ðàâíóþ íóëþ âñþäó,  R ∞ êðîìå îäíîé òî÷êè y , ãäå îíà ðàâíà áåñêî-
íå÷íîñòè è èìååò èíòåãðàë −∞ δ(x, y)dx, ðàâíûé åäèíèöå. Ïðîñòîé àíàëèç
ïîêàçûâàåò, ÷òî ââåäåííûå óñëîâèÿ äëÿ δ(x, y) íå ñîâìåñòíû ñ òî÷êè çðåíèÿ
îïðåäåëåíèÿ óíêöèè è èíòåãðàëà. Ïîýòîìó δ(x, y) íå ÿâëÿåòñÿ óíêöèåé
â êëàññè÷åñêîì ñìûñëå ýòîãî ñëîâà. Áîëåå òîãî, èññëåäîâàíèÿ Ñ.Ë. Ñîáî-
ëåâà, Ë. Øâàðöà è äðóãèõ ìàòåìàòèêîâ ïîêàçàëè, ÷òî δ -óíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ
îáîáùåííîé óíêöèåé, ò. å. óíêöèîíàëîì, îïðåäåëåííûì íà ìíîæåñòâå
D(Rn ) áåñêîíå÷íî äèåðåíöèðóåìûõ èíèòíûõ â Rn óíêöèé, êîòîðûé
äåéñòâóåò ïî îðìóëå < δ(x, y), ϕ >= ϕ(y) ∀ϕ ∈ D(Rn ). Çäåñü < ·, ϕ >
 çíà÷åíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî óíêöèîíàëà íà ýëåìåíòå ϕ ∈ D(Rn ). Òîò
àêò, ÷òî En (·, y) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1.22) â ñìûñëå îáîáùåí-
íûõ óíêöèé, îçíà÷àåò, ÷òî En (·, y) óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìó èíòåãðàëü-
íîìó òîæäåñòâó
                 Z
                    En (x, y)∆ϕ(x)dx = −ϕ(y) ∀ϕ ∈ D(Rn ).            (1.23)
               Rn

Íå èìåÿ çäåñü âîçìîæíîñòè áîëåå ïîäðîáíî îñòàíàâëèâàòüñÿ íà îïèñàíèè
ñâîéñòâ ñèíãóëÿðíîãî ðåøåíèÿ ñ òî÷êè çðåíèÿ îáîáùåííûõ óíêöèé, îò-
ìåòèì, ÷òî äåòàëüíîå îñâåùåíèå óêàçàííûõ âîïðîñîâ ìîæíî íàéòè â êíè-
ãå [11℄.
  1.4. Îáúåìíûå ïîòåíöèàëû. Ïîòåíöèàëû ïðîñòîãî è äâîéíîãî
ñëîÿ. Âûøå ïðè èçó÷åíèè èçè÷åñêîãî ñìûñëà ñèíãóëÿðíîãî ðåøåíèÿ áû-
ëà ðàññìîòðåíà èäåàëüíàÿ â îïðåäåëåííîì ñìûñëå ñèòóàöèÿ, êîãäà ýëåê-
òðè÷åñêîå èëè ãðàâèòàöèîííîå ïîëå ñîçäàåòñÿ òî÷å÷íûì èñòî÷íèêîì. Â
ðåàëüíîñòè çàðÿäû ëèáî ìàññû ðàñïðåäåëåíû ïî îáúåìàì, ïîâåðõíîñòÿì

                                    94

Страницы