Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

y q
1
l
1
(y, q
1
, l
1
)
u
(1)
(x, y) ≡ lim
|y
′′
−y
′
|→0
q
4π
1
|y
′′
− x|
−
1
|y
′
− x|
=
=
q
1
4π
lim
|y
′′
−y
′
|→0
1
|y
′
− y
′′
|
1
|y
′′
− x|
−
1
|y
′
− x|
= q
1
∂
∂l
1
E
3
(x, y).
x ∈ R
3
(y, q
1
, l
1
)
∂
∂l
1
E
3
(x, y) = ∇
x
E
3
(x, y) · e
1
= −
1
4π
x − y
|x − y|
3
· e
1
,
u
(1)
(x, y) (y, q
1
, l
1
) O(|x|
−2
) |x| → ∞
l
2
e
2
y
q
1
e
1
−e
1
y q
1
                      (à)                                      (á)


                                      èñ. 1.1.


öåíòðîì â òî÷êå y, à ÷èñëî q1 è îñü l1 íàçûâàþòñÿ ìîìåíòîì è îñüþ äè-
ïîëÿ ñîîòâåòñòâåííî. Ñàì äèïîëü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òðîéêó (y, q1 , l1 ). Ïî
îïðåäåëåíèþ ïðîèçâîäíîé â äàííîì íàïðàâëåíèè, î÷åâèäíî, èìååì
                                                                   
                   (1)                     q        1         1
                u (x, y) ≡ ′′ lim′                      −              =
                                |y −y |→0 4π   |y′′ − x| |y′ − x|
                                                       
      q1                  1             1           1            ∂
   =          lim                            −            = q 1     E3 (x, y). (1.18)
      4π |y′′ −y′ |→0 |y′ − y′′ | |y′′ − x| |y′ − x|            ∂l1
Ïî ïîñòðîåíèþ (1.18) îïèñûâàåò ïîòåíöèàë ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ, ñî-
çäàâàåìîãî â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå x ∈ R3 äèïîëåì (y, q1 , l1 ). Òàê êàê
               ∂                                  1 x−y
                  E3(x, y) = ∇xE3(x, y) · e1 = −             · e1 ,           (1.19)
              ∂l1                                4π |x − y|3
òî ïîòåíöèàë u(1) (x, y) äèïîëÿ (y, q1, l1 ) óáûâàåò êàê O(|x|−2 ) ïðè |x| → ∞.
   Èòàê, ìû ââåëè äâà òî÷å÷íûõ îáúåêòà  ìîíîïîëü è äèïîëü, è âû÷èñ-
ëèëè ïîòåíöèàëû ïîëåé, ñîçäàâàåìûõ ýòèìè îáúåêòàìè. Ïðè ýòîì äèïîëü
áûë ïîëó÷åí ñáëèæåíèåì äâóõ ìîíîïîëåé ðàçíîèìåííûõ çàðÿäîâ ñ îäíî-
âðåìåííûì óâåëè÷åíèåì èõ çàðÿäîâ ïî ìîäóëþ. Èñïîëüçóÿ â ñâîþ î÷åðåäü
äâà äèïîëÿ, ìû ìîæåì ñêîíñòðóèðîâàòü åùå îäèí òî÷å÷íûé îáúåêò, íàçû-
âàåìûé êâàäðóïîëåì èëè ìóëüòèïîëåì âòîðîãî ïîðÿäêà. Äëÿ ýòîãî íóæíî
ðàññìîòðåòü íà ïðÿìîé l2 ñ íàïðàâëåíèåì e2 , ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó y,
äâà äèïîëÿ ñ îäíèì è òåì æå ìîìåíòîì q1 , îäèí èç êîòîðûõ îðèåíòèðîâàí
â íàïðàâëåíèèè e1 (ñì. ðèñ. 1.1á), à äðóãîé  â íàïðàâëåíèè −e1 . Ñáëèæàÿ
îáà äèïîëÿ â òî÷êó y ñ îäíîâðåìåííûì óâåëè÷åíèåì âåëè÷èíû ìîìåíòà q1

                                         92

Страницы