Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

2!q
1
h ≡ q
2
= const
u
(2)
(x, y) =
q
2
2!
∂
2
∂l
1
∂l
2
E
3
(x, y).
q
2
l
1
l
2
O(|x|
−3
) |x| → ∞
y
u
(3)
(x, y) =
q
3
3!
∂
3
∂l
1
∂l
2
∂l
3
E
3
(x, y),
O(|x|
−4
) |x| → ∞
k u
(k)
(x, y)
u
(k)
(x, y) =
q
k
k!
∂
k
∂l
1
∂l
2
...∂l
k
E
3
(x, y).
l
i
q
k
k
k
E
3
(·, y)
O(|x|
−k−1
) |x| → ∞
E
n
(·, y)
y
R
n
R
n
\{y} E
n
(·, y)
x x → y E
n
(x, y)
n
n ≥ 3 E
n
(·, y)
R
n
\{y}
n = 3 E
n
(·, y)
x ∈ R
n
y ∈ R
n
òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå 2!q1 h ≡ q2 = const, è ðàññóæäàÿ, êàê è
âûøå, ïîëó÷èì â ïðåäåëå åùå îäèí òî÷å÷íûé îáúåêò, ïîòåíöèàë êîòîðîãî
îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé

                          (2)   q2 ∂ 2
                     u (x, y) =           E3(x, y).              (1.20)
                                2! ∂l1∂l2
Óêàçàííûé òî÷å÷íûé îáúåêò íàçûâàåòñÿ êâàäðóïîëåì ñ ìîìåíòîì q2 , à íà-
ïðàâëåíèÿ l1 è l2 íàçûâàþòñÿ åãî îñÿìè. Ïðîñòîé àíàëèç ïîêàçûâàåò, ÷òî
ïîòåíöèàë êâàäðóïîëÿ óáûâàåò êàê O(|x|−3 ) ïðè |x| → ∞.
   Ñáëèæàÿ â òî÷êó y ïî ââåäåííîé ñõåìå äâà êâàäðóïîëÿ, ìîæíî ïîñòðî-
èòü åùå îäèí òî÷å÷íûé èñòî÷íèê, íàçûâàåìûé îêòàïîëåì, ïîòåíöèàë êî-
òîðîãî, îïðåäåëÿåìûé îðìóëîé
                                    q3    ∂3
                    u(3) (x, y) =                E3(x, y),
                                    3! ∂l1∂l2∂l3
óáûâàåò êàê O(|x|−4 ) ïðè |x| → ∞. Ïðîäîëæàÿ ýòîò ïðîöåññ è äàëåå, ìîæ-
íî ñêîíñòðóèðîâàòü òî÷å÷íûé èñòî÷íèê, íàçûâàåìûé ìóëüòèïîëåì ïðîèç-
âîëüíîãî ïîðÿäêà k , ñ ïîòåíöèàëîì u(k) (x, y), îïðåäåëÿåìûì îðìóëîé

                    (k)       qk     ∂k
                   u (x, y) =                 E3(x, y).          (1.21)
                              k! ∂l1∂l2...∂lk
Íàïðàâëåíèÿ li íàçûâàþòñÿ îñÿìè ìóëüòèïîëÿ, à âåëè÷èíà qk  åãî ìî-
ìåíòîì. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ïîòåíöèàë ìóëüòèïîëÿ k -îãî ïîðÿäêà ñîâïàäàåò
ñ òî÷íîñòüþ äî ìóëüòèïëèêàòèâíîé êîíñòàíòû ñ ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé k -
îãî ïîðÿäêà ñèíãóëÿðíîãî ðåøåíèÿ E3 (·, y) âäîëü åãî îñåé è óáûâàåò êàê
O(|x|−k−1) ïðè |x| → ∞. Áîëåå ïîäðîáíî î ïðîöåäóðå ïîñòðîåíèÿ ìóëü-
òèïîëåé ðàçíûõ ïîðÿäêîâ è î ñâîéñòâàõ èõ ïîòåíöèàëîâ ìîæíî ïðî÷èòàòü
â [21, ãë. 20℄.
    çàêëþ÷åíèå ýòîãî ïóíêòà ïðèâåäåì ñâîäêó îñíîâíûõ ñâîéñòâ ñèíãóëÿð-
íîãî ðåøåíèÿ En(·, y), ñ÷èòàÿ âî âñåõ ïðèâîäèìûõ íèæå ñâîéñòâàõ, êðîìå
ïîñëåäíåãî, ÷òî y ÿâëÿåòñÿ èêñèðîâàííîé, õîòÿ è ïðîèçâîëüíîé òî÷êîé
èç Rn :
   1. Âñþäó â Rn \{y} óíêöèÿ En (·, y) ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî äèåðåí-
öèðóåìîé è, áîëåå òîãî, àíàëèòè÷åñêîé óíêöèåé äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò
òî÷êè x, óäîâëåòâîðÿþùåé óðàâíåíèþ Ëàïëàñà (1.2); ïðè x → y En(x, y)
èìååò õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ äëÿ êàæäîãî n îñîáåííîñòü.
   2. Ïðè n ≥ 3 óíêöèÿ En(·, y) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ íà áåñêîíå÷íîñòè
(1.3) è ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé óíêöèåé â Rn \{y}.
   3. Ïðè n = 3 èëè 2 óíêöèÿ En (·, y) îïèñûâàåò ïî ñâîåìó èçè÷åñêîìó
ñìûñëó (ñ òî÷íîñòüþ äî ìóëüòèïëèêàòèâíîé ïîñòîÿííîé) ïîòåíöèàë ïîëÿ,
ñîçäàâàåìîãî â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå x ∈ Rn åäèíè÷íûì òî÷å÷íûì èñòî÷íè-
êîì, ñîñðåäîòî÷åííûì â òî÷êå y ∈ Rn .

                                       93

Страницы