Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

E(x, y) = −kq∇
x
1
4π|x − y|
=
qk
4π
(x − y)
|x − y|
3
.
y q
x ∈ R
3
(y, q)
E
2
(·, y)
R
2
R
3
E
2
(x, y)
x ∈ R
2
y ∈ R
2
E
2
(x, y)
x ∈ R
3
x
1
= y
1
x
2
= y
2
x
3
y
′
= (y
1
, y
2
) ∈ R
2
E
3
(·, y)
y
e
1
l
1
y
′
y
′′
l
1
y h
−q q
q > 0
(y
′
, −q)
(y
′′
, q) x 6= y
′
, y
′′
u(x; y
′
, y
′′
) =
q
4π|y
′′
− x|
−
q
4π|y
′
− x|
.
h = |y
′
−y
′′
| → 0 u(x; y
′
, y
′′
)
h → 0
h q
qh = q|y
′
−y
′′
| = q
1
q
1
(y
′
, −q) (y
′′
, q) h → 0
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
                                                    
                                             1               qk (x − y)
               E(x, y) = −kq∇x                           =               .
                                         4π|x − y|           4π |x − y|3
Åñëè æå â òî÷êå y ñîñðåäîòî÷åíà ìàññà âåëè÷èíû q , òî óíêöèÿ (1.15) îïè-
ñûâàåò ñ òî÷íîñòüþ äî ìóëüòèïëèêàòèâíîé ðàçìåðíîé êîíñòàíòû ãðàâèòà-
öèîííûé ïîòåíöèàë, ñîçäàâàåìûé â òî÷êå x ∈ R3 òî÷å÷íûì èñòî÷íèêîì
ìàññ (y, q).
   Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê óíêöèè E2 (·, y), êîòîðóþ, êàê óæå óêàçûâàëîñü
âûøå, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê íà ïëîñêîñòè R2 , òàê è â ïðîñòðàíñòâå R3 .
Àíàëîãè÷íûå âûøåïðèâåäåííûì ðàññóæäåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî E2 (x, y)
ïðè ïåðâîé (ïëîñêîé) èíòåðïðåòàöèè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çíà÷åíèå â ïðî-
èçâîëüíîé òî÷êå x ∈ R2 ïîòåíöèàëà òî÷å÷íîãî (íà ïëîñêîñòè) èñòî÷íèêà,
ñîñðåäîòî÷åííîãî â òî÷êå y ∈ R2 . Ïðè òðåõìåðíîé èíòåðïðåòàöèè E2 (x, y)
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çíà÷åíèå â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå x ∈ R3 ïîòåíöèàëà, ñî-
çäàâàåìîãî çàðÿäàìè (èëè ìàññàìè), ðàñïðåäåëåííûìè ñ ïîñòîÿííîé ïëîò-
íîñòüþ âäîëü ïðÿìîé x1 = y1 , x2 = y2 , ïðîõîäÿùåé ïàðàëëåëüíî îñè x3
÷åðåç òî÷êó y′ = (y1 , y2 ) ∈ R2 .
   Äëÿ òîãî, ÷òîáû âûÿâèòü èçè÷åñêèé ñìûñë ñèíãóëÿðíîãî ðåøåíèÿ, ìû
ââåëè ñïåöèàëüíûé òî÷å÷íûé îáúåêò, íàçûâàåìûé ìîíîïîëåì, è ïîêàçàëè,
÷òî åãî ïîòåíöèàë ñîâïàäàåò (ñ òî÷íîñòüþ äî ìóëüòèïëèêàòèâíîé êîíñòàí-
òû) ñ ñèíãóëÿðíûì ðåøåíèåì E3 (·, y). Íàðÿäó ñ ìîíîïîëåì, âàæíóþ ðîëü â
èçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèÿõ èãðàåò åùå îäèí òî÷å÷íûé îáúåêò, íàçûâàåìûé
äèïîëåì èëè ìóëüòèïîëåì ïåðâîãî ïîðÿäêà. ×òîáû ñêîíñòðóèðîâàòü äè-
ïîëü, âûáåðåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó y è ïðîâåäåì ÷åðåç íåå â íàïðàâëåíèè
íåêîòîðîãî åäèíè÷íîãî âåêòîðà e1 îñü l1 . Ïóñòü òî÷êè y′ è y′′ ðàñïîëîæåíû
íà îñè l1 ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî y íà ðàññòîÿíèè h äðóã îò äðóãà, è
ïóñòü â íèõ ñîñðåäîòî÷åíû òî÷å÷íûå çàðÿäû −q è q (ñì. ðèñ. 1.1à), ïðè÷åì
q > 0.
   Èç èçèêè èçâåñòíî, ÷òî äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ òàê æå, êàê è
ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ, ñïðàâåäëèâ ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè. Ñîãëàñíî ýòîìó
ïðèíöèïó, êóëîíîâ ïîòåíöèàë ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî ìîíîïîëÿìè (y′ , −q) è
(y′′, q) â òî÷êå x 6= y′ , y′′, îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé
                                           q                 q
                   u(x; y′, y′′) =                 −                .        (1.17)
                                     4π|y′′ − x|         4π|y′ − x|
Èç (1.17) âèäíî, ÷òî ïðè h = |y′ − y′′ | → 0 ïîòåíöèàë u(x; y′, y′′) ñòðåìèòñÿ
ê íóëþ êàê ðàçíîñòü äâóõ ðàâíûõ â ïðåäåëå ïðè h → 0 óíêöèé. Ïóñòü
òåïåðü â ïðîöåññå ñòðåìëåíèÿ h ê íóëþ çàðÿä q ìåíÿåòñÿ òàê, ÷òî âûïîëíÿ-
åòñÿ óñëîâèå qh = q|y′ −y′′ | = q1 , ãäå q1 - èêñèðîâàííîå ÷èñëî. Ïðåäåëüíîå
ïîëîæåíèå çàðÿäîâ (y′, −q) è (y′′ , q) ïðè h → 0 íîñèò íàçâàíèå äèïîëÿ ñ

                                           91

Страницы