Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

R
3
y
R
3
ρ
u(x) = U(ρ) = C
1
ln
1
ρ
+ C
2
.
ρ x y
ρ =
p
x
2
+ y
2
.
z z = 0 R
2
C
1
= 1/2π C
2
= 0
u(x) =
1
2π
ln
1
ρ
=
1
2π
ln
1
|x|
, ρ = |x| =
p
x
2
+ y
2
,
R
2
E
2
(·, y) : R
2
→ R
E
2
(x, y) ≡
1
2π
ln
1
|x − y|
=
1
4π
ln
1
(x
1
− y
1
)
2
+ (x
2
− y
2
)
2
, x 6= y = (y
1
, y
2
),
R
2
y ∈ R
2
R
2
y = 0
∆u ≡
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
= 0
x 6= y
|x| → ∞
R
2
y
R
2
x = y
Ω ⊂ R
2
y
R
n
n ≥ 3
ω
n
R
n
  Ôóíêöèþ (1.9) íèæå áóäåì íàçûâàòü ñèíãóëÿðíûì ðåøåíèåì îïåðàòîðà
Ëàïëàñà â R3 ñ öåíòðîì â òî÷êå y.
  Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
Ëàïëàñà â ïðîñòðàíñòâå R3 , çàâèñÿùåå òîëüêî îò êîîðäèíàòû ρ, èìååò âèä
                                            1
                         u(x) = U (ρ) = C1ln + C2.                  (1.10)
                                            ρ
Íàïîìíèì, ÷òî ρ ñâÿçàíà ñ äåêàðòîâûìè êîîðäèíàòàìè x è y îðìóëîé
                                p
                            ρ = x2 + y 2 .                    (1.11)

Ïîñêîëüêó â ñèëó (1.11) óíêöèÿ (1.10) íå çàâèñèò îò äåêàðòîâîé êîîðäè-
íàòû z , òî åå äîñòàòî÷íî ðàññìàòðèâàòü ïðè z = 0, ò. å. íà ïëîñêîñòè R2 .
Ïðè C1 = 1/2π , C2 = 0 ïîëó÷èì óíêöèþ
                         1 1   1   1           p
               u(x) =     ln =   ln , ρ = |x| = x2 + y 2 ,
                        2π ρ 2π |x|
íàçûâàåìóþ ñèíãóëÿðíûì ðåøåíèåì îïåðàòîðà Ëàïëàñà â R2 . Ñîîòâåòñòâó-
þùàÿ óíêöèÿ E2 (·, y) : R2 → R, îïðåäåëÿåìàÿ îðìóëîé
             1     1       1            1
 E2 (x, y) ≡   ln      =     ln                     , x 6= y = (y1, y2),
            2π |x − y| 4π (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2
                                                                   (1.12)
íàçûâàåòñÿ ñèíãóëÿðíûì ðåøåíèåì îïåðàòîðà Ëàïëàñà â R ñ öåíòðîì â
                                                          2

òî÷êå y ∈ R2 èëè ïðîñòî ñèíãóëÿðíûì ðåøåíèåì â R2 , åñëè y = 0. Ïî
ïîñòðîåíèþ óíêöèÿ (1.12) óäîâëåòâîðÿåò äâóìåðíîìó óðàâíåíèþ Ëàïëàñà

                                ∂ 2u ∂ 2u
                            ∆u ≡ 2 + 2 = 0                          (1.13)
                                ∂x   ∂y
â êàæäîé òî÷êå x 6= y. Îäíàêî â îòëè÷èå îò óíêöèè (1.9), óáûâàþùåé íà
áåñêîíå÷íîñòè, óíêöèÿ (1.12) ÿâëÿåòñÿ íåîãðàíè÷åííîé ïðè |x| → ∞. Ïî-
ýòîìó îíà íå ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé â íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòè. Îäíàêî
îíà, êîíå÷íî, ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé â ëþáîé îãðàíè÷åííîé îáëàñòè ïëîñ-
êîñòè R2 , íå ñîäåðæàùåé òî÷êè y. Ñîðìóëèðóåì ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò â
âèäå ëåììû.
   Ëåììà 1.2. Ôóíêöèÿ (1.12) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ëàïëàñà (1.13)
âñþäó íà ïëîñêîñòè R2 , êðîìå òî÷êè x = y, è ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé
â ëþáîì îòêðûòîì îãðàíè÷åííîì ìíîæåñòâå Ω ⊂ R2 , íå ñîäåðæàùåì
òî÷êè y.
   àññìîòðèì òåïåðü ïðîñòðàíñòâî Rn ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà n ≥ 3 èçìå-
ðåíèé. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ωn ïëîùàäü åäèíè÷íîé ñåðû â Rn . Èçâåñòíî [9,

                                    89

Страницы