Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

x ∈ Ω
e
|u(x)| ≤
C
|x|
n−2
.
u
x
Ω
u
Ω
Q ⊃ Ω
Γ Ω
R
3
R
2
R
3
x y z r, θ ϕ ρ ϕ, z
x ∈ R
3
∆
∆u =
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
+
∂
2
u
∂z
2
∆u = ∆
r,θ,ϕ
u ≡
1
r
2
∂
∂r
r
2
∂u
∂r
+
1
r
2
sinθ
∂
∂θ
sinθ
∂u
∂θ
+
1
r
2
sin
2
θ
∂
2
u
∂ϕ
2
∆u = ∆
ρ,ϕ,z
u ≡
1
ρ
∂
∂ρ
ρ
∂u
∂ρ
+
1
ρ
2
∂
2
u
∂ϕ
2
+
∂
2
u
∂z
2
Ëàïëàñà (1.2) è äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ïî ìîäóëþ x ∈ Ωe óäîâëåòâî-
ðÿåò óñëîâèþ
                                      C
                           |u(x)| ≤        .                  (1.3)
                                    |x|n−2
 Çäåñü Ñ  íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ, çàâèñÿùàÿ îò u, íî íå çàâèñÿùàÿ îò
x.
    ñëó÷àå äâóìåðíîé îáëàñòè Ω óñëîâèå (1.3) îçíà÷àåò, ÷òî ãàðìîíè÷åñêàÿ
â íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòè óíêöèÿ u ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííîé íà áåñêîíå÷-
íîñòè.
   Ïîä÷åðêíåì, ÷òî îïðåäåëåíèå ãàðìîíè÷åñêîé óíêöèè îòíîñèòñÿ ê ñëó-
÷àþ îòêðûòîãî ìíîæåñòâà; åñëè ãîâîðÿò î óíêöèè, ãàðìîíè÷åñêîé â çà-
ìêíóòîì ìíîæåñòâå Ω, òî ïîä ýòèì ïîíèìàþò, ÷òî äàííàÿ óíêöèÿ ãàð-
ìîíè÷íà â áîëåå øèðîêîì îòêðûòîì ìíîæåñòâå Q ⊃ Ω. Çàìåòèì òàêæå,
÷òî îïðåäåëåíèå ãàðìîíè÷åñêîé óíêöèè íå íàêëàäûâàåò íèêàêèõ îãðàíè-
÷åíèé íà ïîâåäåíèå óíêöèè íà ãðàíèöå Γ îáëàñòè Ω.
   Íàêîíåö, îòìåòèì, ÷òî íà ïðàêòèêå ÷àñòî âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü íà-
õîæäåíèÿ ðåøåíèé ýëëèïòè÷åñêèõ óðàâíåíèé è, â ÷àñòíîñòè, óðàâíåíèÿ
Ëàïëàñà â íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòè ñ íåîãðàíè÷åííîé ãðàíèöåé èëè, êàê
ãîâîðÿò, ñ ãðàíèöåé, ïðîñòèðàþùåéñÿ â áåñêîíå÷íîñòü. Äëÿ òàêèõ îáëà-
ñòåé óñëîâèå (1.3) íà áåñêîíå÷íîñòè, âõîäÿùåå â îïðåäåëåíèå ãàðìîíè÷å-
ñêîé óíêöèè, ìîæåò èçìåíÿòüñÿ. Îäíàêî, â ýòîé ãëàâå ìû íå áóäåì ðàñ-
ñìàòðèâàòü òàêèå îáëàñòè.
   1.2. Ñèíãóëÿðíûå ðåøåíèÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà. Íèæå áóäåì çà-
íèìàòüñÿ, â îñíîâíîì, èçó÷åíèåì ñâîéñòâ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà â
òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå R3 è íà ïëîñêîñòè R2 . Èçâåñòíî, ÷òî â ïðîñòðàí-
ñòâå R3 ìîæíî ââåñòè áåñêîíå÷íî ìíîãî îðòîãîíàëüíûõ ñèñòåì êîîðäèíàò.
Íàèáîëåå âàæíûìè èç íèõ ÿâëÿþòñÿ äåêàðòîâà, ñåðè÷åñêàÿ è öèëèíäðè-
÷åñêàÿ ñèñòåìû êîîðäèíàò. Ïóñòü x, y , z ; r, θ , ϕ è ρ, ϕ, z îáîçíà÷àþò ñîîò-
âåòñòâåííî äåêàðòîâû, ñåðè÷åñêèå è öèëèíäðè÷åñêèå êîîðäèíàòû òî÷êè
x ∈ R3 . Íàïîìíèì, ÷òî òðåõìåðíûé îïåðàòîð Ëàïëàñà ∆ îïðåäåëÿåòñÿ
îðìóëîé
                                  ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
                          ∆u =         +      +                           (1.4)
                                  ∂x2 ∂y 2 ∂z 2
â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, îðìóëîé

                                                                1 ∂ 2u
                                                      
                   1 ∂     2 ∂u        1 ∂            ∂u
   ∆u = ∆r,θ,ϕ u ≡ 2     r        + 2            sinθ      + 2 2          (1.5)
                  r ∂r       ∂r      r sinθ ∂θ        ∂θ     r sin θ ∂ϕ2
â ñåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò è
                                                1 ∂ 2u ∂ 2u
                                           
                                1 ∂      ∂u
                ∆u = ∆ρ,ϕ,z u ≡        ρ      + 2 2+ 2                    (1.6)
                                ρ ∂ρ     ∂ρ    ρ ∂ϕ    ∂z

                                      87

Страницы