Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

ξ
0
→ x
0
h → 0
Q
2aρc
√
πt
e
−
(x
0
−x)
2
4a
2
t
.
Q = ρc F (x
0
, x, t)
Q = ρc t = 0 x = ξ
F (ξ, x, t) ξ
x t
1
< t
2
< t
3
Z
∞
−∞
1
2a
√
πt
e
−
(ξ−x)
2
4a
2
t
dξ =
1
√
π
Z
∞
−∞
e
−α
2
dα = 1.
Q = ρc
(ξ −ε, ξ +ε)
ε t > 0
ρc
t = 0
t > 0
x = ξ t = 0
x = ξ
Òàê êàê ξ0 → x0 ïðè h → 0, òî â ïðåäåëå âûðàæåíèå (3.55) ïðèíèìàåò âèä
                               Q    (x0 −x)2
                                √ e− 4a2 t .                       (3.56)
                            2aρc πt
   Ïðè Q = ρc (3.56) ïåðåõîäèò â óíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå F (x0 , x, t),
îïðåäåëÿåìîå îðìóëîé (3.22). Ýòî ïîçâîëÿåò ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî ïî
ñâîåìó èçè÷åñêîìó ñìûñëó óíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå (3.22) îïèñûâàåò
ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â áåñêîíå÷íîì îäíîðîäíîì ñòåðæíå, êîòîðîå
âûçûâàåòñÿ ìãíîâåííûì òî÷å÷íûì èñòî÷íèêîì òåïëà èíòåíñèâíîñòè
Q = ρc, ïîìåùåííûì â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t = 0 â òî÷êå x = ξ
ñòåðæíÿ.
    ðàèêè óíäàìåíòàëüíîãî ðåøåíèÿ F (ξ, x, t) ïðè èêñèðîâàííîì ξ
êàê óíêöèè îò x â èêñèðîâàííûå ìîìåíòû âðåìåíè t1 < t2 < t3 ïðåä-
ñòàâëåíû íà ðèñ. 3.1. Ïëîùàäü ïîä êàæäîé èç ýòèõ êðèâûõ ðàâíà
               Z ∞                       Z ∞
                       1  − (ξ−x)
                                  2
                                       1        2
                       √ e 4a2 t dξ = √      e−α dα = 1.
                −∞ 2a πt                π −∞
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êîëè÷åñòâî òåïëà Q = ρc â ñòåðæíå îñòàåòñÿ íåèçìåííûì
ñ òå÷åíèåì âðåìåíè. Èç ðèñ. 3.1 âèäíî, ÷òî ïî÷òè âñÿ ïëîùàäü, îãðàíè÷åí-
íàÿ êðèâîé (3.22) è îñüþ àáñöèññ, íàõîäèòñÿ íàä ïðîìåæóòêîì (ξ −ε, ξ +ε),
ãäå ε  äîñòàòî÷íî ìàëîå ÷èñëî, åñëè òîëüêî çíà÷åíèå t > 0 äîñòàòî÷íî ìà-
ëî. Âåëè÷èíà ýòîé ïëîùàäè, óìíîæåííàÿ íà ρc, ðàâíà êîëè÷åñòâó òåïëà,
ïîäâîäèìîìó â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t = 0 ê ñòåðæíþ. Òàêèì îá-
ðàçîì, äëÿ ìàëûõ çíà÷åíèé t > 0 ïî÷òè âñå òåïëî ñîñðåäîòî÷åíî â ìàëîé
îêðåñòíîñòè òî÷êè x = ξ , òîãäà êàê â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t = 0 âñå
êîëè÷åñòâî òåïëà ñîñðåäîòî÷åíî â òî÷êå x = ξ , ãäå íàõîäèòñÿ ìãíîâåííûé
òî÷å÷íûé èñòî÷íèê òåïëà.




                                   85

Страницы