Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

t > 0
x t
ϕ
(x
0
− h, x
0
+ h) x
0
ϕ
(x
0
− h, x
0
+ h) ϕ
0
Q = 2hρcϕ
0
ϕ
0
ρ c
u(x, t) =
Z
x
0
+h
x
0
−h
ϕ
0
1
2a
√
πt
e
−
(ξ−x)
2
4a
2
t
dξ =
Q
2aρc
√
πt
1
2h
Z
x
0
+h
x
0
−h
e
−
(ξ−x)
2
4a
2
t
dξ.
h
Q
x = x
0
Q
t = 0
x = x
0
lim
h→0
Q
2aρc
√
πt
1
2h
Z
x
0
+h
x
0
−h
e
−
(ξ−x)
2
4a
2
t
dξ.
1
2h
Z
x
0
+h
x
0
−h
e
−
(ξ−x)
2
4a
2
t
dξ = e
−
(ξ
0
−x)
2
4a
2
t
, ξ
0
∈ (x
0
− h, x
0
+ h).
îíî îòíîñèòåëüíî òî÷íî ìîäåëèðóåò ðåàëüíûå èçè÷åñêèå ïðîöåññû ðàñ-
ïðîñòðàíåíèÿ òåïëà ëèáî äèóçèè âåùåñòâà.
   Îòìåòèì åùå îäíî âàæíîå îáñòîÿòåëüñòâî. åøåíèå çàäà÷è Êîøè (3.1),
(3.2) åñòü óíêöèÿ, íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìàÿ ïðè t > 0 ñêîëüêî
óãîäíî ðàç ïî x è t, íåçàâèñèìî îò òîãî, áóäåò ëè èìåòü ïðîèçâîäíûå óíê-
öèÿ ϕ èëè íåò. Óêàçàííîå ñâîéñòâî âíóòðåííåé ãëàäêîñòè ðåøåíèé ñóùå-
ñòâåííî îòëè÷àåò îäíîðîäíîå óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè îò óðàâíåíèÿ
êîëåáàíèÿ ñòðóíû.
   Âûÿñíèì òåïåðü èçè÷åñêèé ñìûñë óíäàìåíòàëüíîãî ðåøåíèÿ (3.22)
îïåðàòîðà òåïëîïðîâîäíîñòè â (3.1). àññóæäàÿ, êàê â [21, . 457℄, âûäåëèì
ìàëûé ýëåìåíò ñòåðæíÿ (x0 − h, x0 + h) îêîëî òî÷êè x0 è áóäåì ñ÷èòàòü,
÷òî óíêöèÿ ϕ, îïèñûâàþùàÿ íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû, ðàâ-
íà íóëþ âíå ïðîìåæóòêà (x0 − h, x0 + h) è èìååò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå ϕ0
âíóòðè íåãî. Ñ èçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ (ñì. Ÿ 4 ãë. 1) ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ýòîìó ýëåìåíòó ñîîáùåíî êîëè÷åñòâî òåïëà
Q = 2hρcϕ0 , êîòîðîå âûçâàëî ïîâûøåíèå òåìïåðàòóðû íà âåëè÷èíó ϕ0 â
ýòîì ñòåðæíå. Çäåñü ρ è c îáîçíà÷àþò ñîîòâåòñòâåííî ëèíåéíóþ ïëîòíîñòü
è óäåëüíóþ òåïëîåìêîñòü ñòåðæíÿ. Â ïîñëåäóþùèå ìîìåíòû âðåìåíè ðàñ-
ïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â ñòåðæíå äàåòñÿ îðìóëîé (3.21), êîòîðàÿ â íà-
øåì ñëó÷àå ïðèíèìàåò âèä:
               Z x0 +h                                Z x0 +h
                           1    (ξ−x)2        Q     1           (ξ−x)2
     u(x, t) =         ϕ0 √ e− 4a2 t dξ =      √              e− 4a2 t dξ.
                x0 −h    2a πt             2aρc πt 2h x0 −h

    Áóäåì òåïåðü óìåíüøàòü h äî íóëÿ,
ò. å. áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî òî æå êîëè÷åñòâî
òåïëà Q ðàñïðåäåëÿåòñÿ íà âñå ìåíüøåì
ó÷àñòêå è â ïðåäåëå ñîîáùàåòñÿ ñòåðæ-
íþ â òî÷êå x = x0 .  ðåçóëüòàòå ïðèäåì
ê ïîíÿòèþ ìãíîâåííîãî òî÷å÷íîãî èñ-
òî÷íèêà òåïëà èíòåíñèâíîñòè Q, ïî-
ìåùåííîãî â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 â
òî÷êå x = x0 . Îò äåéñòâèÿ òàêîãî ìãíî-
âåííîãî èñòî÷íèêà òåïëà â ñòåðæíå âîç-
íèêàåò ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóð, îïðå-
äåëÿåìîå îðìóëîé                                          èñ. 3.1
                                      Z x0 +h
                              Q     1           (ξ−x)2
                       lim     √              e− 4a2 t dξ.             (3.55)
                       h→0 2aρc πt 2h x −h
                                        0

Ïðèìåíèâ òåîðåìó î ñðåäíåì, áóäåì èìåòü
             Z x0 +h
           1           (ξ−x)2        (ξ0 −x)2
                     e− 4a2 t dξ = e− 4a2 t , ξ0 ∈ (x0 − h, x0 + h).
          2h x0 −h
                                       84

Страницы