Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

t = 0
ˆu(λ, 0) = 0.
ˆu(λ, t) =
Z
t
0
ˆ
f(λ, τ)e
−λ
2
a
2
(t−τ)
dτ.
ˆu u
u ˆu
u(x, t) =
1
√
2π
Z
∞
−∞
ˆu(λ, t)e
−iλx
dλ.
ˆu(λ, t)
u(x, t) =
1
√
2π
Z
∞
−∞
e
−iλx
dλ
Z
t
0
ˆ
f(λ, τ)e
−λ
2
a
2
(t−τ)
dτ.
ˆ
f
u(x, t) =
1
2π
Z
t
0
Z
∞
−∞
f(ξ, τ)dξdτ
Z
∞
−∞
e
−λ
2
a
2
(t−τ)
e
iλ(ξ−x)
dλ.
λ
Z
∞
−∞
e
−λ
2
a
2
(t−τ)
e
iλ(ξ−x)
dλ =
Z
∞
−∞
e
−λ
2
a
2
(t−τ)
[cosλ(ξ − x) + isinλ(ξ − x)]dλ =
= 2
Z
∞
0
e
−λ
2
a
2
(t−τ)
cosλ(ξ − x)dλ =
√
π
2a
√
t − τ
e
−
(ξ−x)
2
4a
2
(t−τ )
.
u
u(x, t) =
Z
t
0
Z
∞
−∞
1
2a
p
π(t − τ)
e
−
(ξ−x)
2
4a
2
(t−τ )
f(ξ, τ)dξdτ.
f
f ∈ C
1
(Q
T
), lim
x→±∞
f(x, t) = 0, lim
x→±∞
∂f(x, t)
∂x
= 0 ∀t ≥ 0.
   Ïîëàãàÿ äàëåå â (3.40) t = 0, ïîëó÷èì ñ ó÷åòîì (3.36) íà÷àëüíîå óñëîâèå
                                          û(λ, 0) = 0.                          (3.47)
åøåíèå çàäà÷è (3.46), (3.47), àíàëîãè÷íîé çàäà÷å (2.23), (2.24), èìååò âèä
                               Z t
                                               2 2
                    û(λ, t) =     fˆ(λ, τ )e−λ a (t−τ ) dτ.          (3.48)
                                          0

   Òåì ñàìûì ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå û ðåøåíèÿ u íàéäåíî. Îñòàëîñü ëèøü
âîññòàíîâèòü óíêöèþ u ïî û. Â ñèëó (3.39) èìååì
                                 Z ∞
                              1
                   u(x, t) = √        û(λ, t)e−iλxdλ.
                              2π −∞
Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà âìåñòî û(λ, t) âûðàæåíèå (3.48), áóäåì èìåòü
                          Z ∞            Z t
                       1                                 2 2
            u(x, t) = √        e −iλx
                                      dλ     fˆ(λ, τ )e−λ a (t−τ ) dτ.
                        2π −∞             0

Ïðîèçâåäåì çäåñü çàìåíó ïîðÿäêà èíòåãðèðîâàíèÿ è âîñïîëüçóåìñÿ îð-
ìóëîé (3.42) äëÿ fˆ.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì, ÷òî
                    Z tZ ∞               Z ∞
                 1                              2 2
      u(x, t) =            f (ξ, τ )dξdτ     e−λ a (t−τ ) eiλ(ξ−x) dλ. (3.49)
                2π 0 −∞                   −∞

   Âíóòðåííèé èíòåãðàë ïî ïåðåìåííîé λ âû÷èñëÿåòñÿ â ÿâíîì âèäå. Äåé-
ñòâèòåëüíî, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà èíòåãðàëîâ â ñèììåòðè÷íûõ ïðåäåëàõ îò
÷åòíîé è íå÷åòíîé óíêöèé è ñîîòíîøåíèå (3.20), èìååì
 Z ∞                             Z ∞
      −λ2 a2 (t−τ ) iλ(ξ−x)             2 2
     e             e        dλ =     e−λ a (t−τ ) [cosλ(ξ − x) + isinλ(ξ − x)]dλ =
  −∞                                 −∞
                 ∞                               √                      2
                                                     π
             Z
                     −λ2 a2 (t−τ )                            − 4a(ξ−x)
       =2       e         cosλ(ξ − x)dλ =      √             e     2 (t−τ )
                                                                            . (3.50)
            0                               2a t − τ
Ïîäñòàâëÿÿ (3.50) â (3.49), ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé îêîí÷àòåëüíîé îðìóëå
ðåøåíèÿ u:
                      Z tZ ∞                           2
                                   1         − 4a(ξ−x)
           u(x, t) =            p           e     2 (t−τ )
                                                           f (ξ, τ )dξdτ.     (3.51)
                       0   −∞ 2a  π(t − τ )
Ïðîñòîé àíàëèç ïîêàçûâàåò, ÷òî îðìóëà (3.51) äåéñòâèòåëüíî îïðåäåëÿåò
ðåøåíèå çàäà÷è (3.35)-(3.37) â ñëó÷àå, êîãäà f óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì
                                                         ∂f (x, t)
         f ∈ C 1(QT ),       lim f (x, t) = 0,       lim           = 0 ∀t ≥ 0.
                            x→±∞                    x→±∞   ∂x
                                               82

Страницы