Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

∂u
∂t
= a
2
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
+
∂
2
u
∂z
2
R
3
× (0, ∞), u|
t=0
= ϕ(x, y, z) R
3
u(x, y, z, t) =
∞
Z
−∞
∞
Z
−∞
∞
Z
−∞
ϕ(ξ, η, ζ)
1
(2a
√
πt)
3
e
−
(ξ−x)
2
+(η−y)
2
+(ζ−z)
2
4a
2
t
dξdηdζ.
∂u
∂t
= a
2
∂
2
u
∂x
2
+ f(x, t)
Q
T
u(x, 0) = 0, x ∈ (−∞, ∞)
lim
x→±∞
u(x, t) = 0, lim
x→±∞
∂u(x, t)
∂x
= 0, t > 0.
ϕ
R
ϕ
ˆϕ(λ) =
1
√
2π
Z
∞
−∞
ϕ(ξ)e
iλξ
dξ,
−∞ < λ < ∞ ˆϕ
ϕ
ϕ
ˆϕ(λ)
ϕ(x) =
1
√
2π
Z
∞
−∞
ˆϕ(λ)e
−iλx
dλ, x ∈ (−∞, ∞).
  Çàìå÷àíèå 3.4. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ðåøåíèå çà-
äà÷è Êîøè
          2       2       2
                               
 ∂u       ∂  u   ∂   u   ∂   u
    = a2       +       +               â R3 × (0, ∞), u|t=0 = ϕ(x, y, z) â R3
 ∂t       ∂x2 ∂y 2 ∂z 2
                                                               (3.33)
äëÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé [21,
 . 459℄
                   Z∞ Z∞ Z∞
                                              1             2
                                                     − (ξ−x) +(η−y)
                                                                     2 +(ζ−z)2

 u(x, y, z, t) =              ϕ(ξ, η, ζ)      √     e          4a2 t           dξdηdζ. (3.34)
                                           (2a πt)3
                   −∞ −∞ −∞

  3.4. Çàäà÷à Êîøè äëÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ. Ïîíÿòèå î
ìåòîäå èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé.        àññìîòðèì â ýòîì ïóíêòå çà-
äà÷ó íàõîæäåíèÿ êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ òåïëî-
ïðîâîäíîñòè
                                  2
                          ∂u    2∂ u
                             =a      + f (x, t)                  (3.35)
                          ∂t     ∂x2
â îáëàñòè QT , óäîâëåòâîðÿþùåãî íà÷àëüíîìó óñëîâèþ
                              u(x, 0) = 0, x ∈ (−∞, ∞)                                (3.36)
è ñëåäóþùèì óñëîâèÿì íà áåñêîíå÷íîñòè
                                         ∂u(x, t)
                    lim u(x, t) = 0,         lim  = 0, t > 0.    (3.37)
               x→±∞                x→±∞    ∂x
Ýòè óñëîâèÿ â ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷àõ îáû÷íî âûïîëíÿþòñÿ.
   Ïðè ðåøåíèè ìíîãèõ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè î÷åíü ýåêòèâ-
íûì ÿâëÿåòñÿ èñïîëüçîâàíèå òàê íàçûâàåìîãî ìåòîäà èíòåãðàëüíûõ ïðå-
îáðàçîâàíèé. Ïîçíàêîìèìñÿ ñ èäååé ýòîãî ìåòîäà íà ïðèìåðå ðåøåíèÿ çà-
äà÷è (3.35)(3.37). Ñíà÷àëà ââåäåì ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå. Ïóñòü ϕ  çà-
äàííàÿ íà âåùåñòâåííîé îñè R óíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ òåì æå ñàìûì
óñëîâèÿì, ïðè êîòîðûõ èìååò ìåñòî îðìóëà Ôóðüå (3.14). Ïîñòàâèì â ñî-
îòâåòñòâèå ϕ äðóãóþ óíêöèþ
                                    Z ∞
                                 1
                       ϕ̂(λ) = √         ϕ(ξ)eiλξ dξ,            (3.38)
                                 2π −∞
ãäå −∞ < λ < ∞. Ôóíêöèÿ ϕ̂ íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëüíûì ïðåîáðàçîâàíèåì
Ôóðüå óíêöèè ϕ. Ñ ïîìîùüþ îðìóëû Ôóðüå (3.14) íåòðóäíî ïîêàçàòü,
÷òî óíêöèÿ ϕ ìîæåò áûòü âûðàæåíà ÷åðåç ñâîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå
ϕ̂(λ) ïî ñëåäóþùåé îðìóëå (ñì. [19, ãë. 10℄)
                            Z ∞
                        1
               ϕ(x) = √         ϕ̂(λ)e−iλxdλ, x ∈ (−∞, ∞).       (3.39)
                         2π −∞
                                              80

Страницы