Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

x t
Π = Π(L, t
0
, T
0
) = {(x, t) : −L ≤ x ≤ L, t
0
≤
t ≤ T
0
} t
0
> 0 T
0
≤ T
x t
I(x, t) =
1
t
k
Z
∞
−∞
ϕ(ξ)(ξ −x)
m
e
−
(ξ−x)
2
4a
2
t
dξ,
k m
z =
ξ − x
2a
√
t
(t > 0), ξ = x + 2a
√
tz, dξ = 2a
√
tdz
I(x, t) = (2a)
m+1
t
m+1
2
−k
Z
∞
−∞
ϕ(x + 2az
√
t)z
m
e
−z
2
dz.
M|z|
m
e
−z
2
(−∞, ∞)
t ≥ t
0
> 0 t ≥ t
0
t = 0
u
x t
x t
t > 0
(x, t) t > 0 u
t > 0
lim
t→0
u(x, t) = ϕ( x) ∀x ∈ (−∞, ∞).
u(x, t) =
1
√
π
Z
∞
−∞
ϕ(x + 2az
√
t)e
−z
2
dz.
ýòîãî äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü ñ ó÷åòîì çàìå÷àíèÿ 3.3, ÷òî èíòåãðàë â (3.21), à
òàêæå èíòåãðàëû, ïîëó÷åííûå åãî îðìàëüíûì äèåðåíöèðîâàíèåì ïîä
çíàêîì èíòåãðàëà äâàæäû ïî x è îäèí ðàç ïî t, ðàâíîìåðíî ñõîäÿòñÿ â
ëþáîì ïðÿìîóãîëüíèêå âèäà Π = Π(L, t0 , T0) = {(x, t) : −L ≤ x ≤ L, t0 ≤
t ≤ T0}, ãäå t0 > 0, T0 ≤ T .
   Äèåðåíöèðóÿ (3.21) ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî ðàç ïî x è t, ïîëó÷èì ëèíåé-
íóþ êîìáèíàöèþ èíòåãðàëîâ âèäà
                              1 ∞
                                Z
                                                 (ξ−x)2
                   I(x, t) = k     ϕ(ξ)(ξ − x)me− 4a2 t dξ,         (3.23)
                              t −∞
ãäå k è m  íåêîòîðûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Ïîêàæåì, ÷òî êàæäûé èç ýòèõ
èíòåãðàëîâ ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ. Ñ ýòîé öåëüþ ñ ïîìîùüþ çàìåíû ïåðå-
ìåííûõ
                  ξ−x                        √             √
             z = √ (t > 0), ξ = x + 2a tz, dξ = 2a tdz            (3.24)
                  2a t
ïðåîáðàçóåì èíòåãðàë (3.23) ê âèäó
                                      Z ∞
                           m+1 m+1 −k
                                                   √         2
            I(x, t) = (2a)    t 2         ϕ(x + 2az t)z m e−z dz. (3.25)
                                    −∞

Ïîäèíòåãðàëüíàÿ óíêöèÿ â (3.25), î÷åâèäíî, ìàæîðèðóåòñÿ óíêöèåé
          2
M|z|m e−z , êîòîðàÿ èíòåãðèðóåìà â èíòåðâàëå (−∞, ∞). Îòñþäà ñëåäóåò
(ñì., íàïðèìåð, [19, . 274℄) ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà â (3.25) ïðè
t ≥ t0 > 0. (Íåîáõîäèìîñòü ïîñëåäíåãî óñëîâèÿ t ≥ t0 âûçûâàåòñÿ òåì, ÷òî
îðìóëà çàìåíû ïåðåìåííûõ â (3.24) íå îïðåäåëåíà ïðè t = 0). Ñ ó÷åòîì
ýòîãî ïðèõîäèì íà îñíîâàíèè [19, . 276℄ ê âûâîäó î òîì, ÷òî óíêöèÿ u,
îïðåäåëÿåìàÿ íåñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì (3.21), çàâèñÿùèì îò x è t êàê îò
ïàðàìåòðîâ, íåïðåðûâíà è èìååò ïðîèçâîäíûå ëþáîãî ïîðÿäêà ïî x è t ïðè
t > 0, ïðè÷åì ýòè ïðîèçâîäíûå ìîãóò áûòü íàéäåíû ñ ïîìîùüþ äèå-
ðåíöèðîâàíèÿ ïîä çíàêîì èíòåãðàëà. Òàê êàê ïîäèíòåãðàëüíàÿ óíêöèÿ
â (3.21) óäîâëåòâîðÿåò (â ñèëó çàìå÷àíèÿ 3.3) óðàâíåíèþ (3.1) â êàæäîé
òî÷êå (x, t) ïðè t > 0, òî îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî è óíêöèÿ u óäîâëåòâîðÿåò
ýòîìó óðàâíåíèþ ïðè t > 0.
   Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî óíêöèÿ (3.21) óäîâëåòâîðÿåò íà÷àëüíîìó óñëî-
âèþ (3.2), ò. å. ÷òî
                    lim u(x, t) = ϕ(x) ∀x ∈ (−∞, ∞).                (3.26)
                    t→0

Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî àêòà îïÿòü âîñïîëüçóåìñÿ çàìåíîé ïåðåìåííûõ
ïî îðìóëå (3.24). Ñ ó÷åòîì ýòîé çàìåíû èíòåãðàë (3.21) ïðèìåò âèä
                               Z ∞
                             1              √     2
                  u(x, t) = √      ϕ(x + 2az t)e−z dz.           (3.27)
                              π −∞
                                    78

Страницы