Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

ϕ(x) =
1
2π
Z
∞
−∞
dλ
Z
∞
−∞
ϕ(ξ)cosλ(ξ −x)dξ,
ϕ
ϕ
(−∞, ∞)
(−∞, ∞)
R
∞
−∞
|ϕ(x)|dx
λ
u(x, t) =
1
2π
Z
∞
−∞
dλ
Z
∞
−∞
ϕ(ξ)e
−a
2
λ
2
t
λ(ξ − x)dξ =
=
1
π
Z
∞
0
dλ
Z
∞
−∞
ϕ(ξ)e
−a
2
λ
2
t
λ(ξ − x)dξ.
u(x, t) =
1
π
Z
∞
−∞
ϕ(ξ)dξ
Z
∞
0
e
−a
2
λ
2
t
λ(ξ −x)dλ.
x t λ ξ z µ
aλ
√
t = z, λ(ξ − x) = µz ⇒ µ =
ξ − x
a
√
t
, dλ =
dz
a
√
t
, t > 0.
Z
∞
0
e
−a
2
λ
2
t
λ(ξ − x)dλ =
1
a
√
t
Z
∞
0
e
−z
2
µzdz ≡
1
a
√
t
J(µ).
J
µ ∈ (−∞ , ∞) J µ
J
′
(µ) = −
R
∞
0
e
−z
2
z
µzdz
Z
∞
0
u
′
vdz = −
Z
∞
0
uv
′
dz + uv|
∞
0
Åñëè ïîäñòàâèòü (3.13) â (3.12), òî ïîëó÷èì îðìóëó
                           Z ∞      Z ∞
                         1
               ϕ(x) =            dλ     ϕ(ξ)cosλ(ξ − x)dξ,          (3.14)
                        2π −∞        −∞

íàçûâàåìóþ ðàçëîæåíèåì óíêöèè ϕ â èíòåãðàë Ôóðüå. Èçâåñòíî, (ñì.,
íàïðèìåð, [47, ãë. 6℄), ÷òî îðìóëà (3.14) ñïðàâåäëèâà, åñëè óíêöèÿ ϕ
íåïðåðûâíà â (−∞, ∞), óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Äèðèõëå, ò.å. èìååò êîíå÷-
íîå ÷èñëî ìàêñèìóìîâ è ìèíèìóìîâ, è àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà    R ∞ â èíòåð-
âàëå (−∞, ∞), òàê ÷òî ñóùåñòâóåò íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë −∞ |ϕ(x)|dx.
Î äðóãèõ äîñòàòî÷íûõ óñëîâèÿõ ñïðàâåäëèâîñòè îðìóëû (3.14) ìîæíî
ïðî÷èòàòü â [19, ãë. 10℄.
   Ïîäñòàâèì òåïåðü (3.13) â (3.11). Ó÷èòûâàÿ ÷åòíîñòü ïîäèíòåãðàëüíîé
óíêöèè ïî λ â ïîëó÷åííîì èíòåãðàëå, áóäåì èìåòü
                          Z ∞    Z ∞
                       1                     2 2
           u(x, t) =          dλ     ϕ(ξ)e−a λ t osλ(ξ − x)dξ =
                      2π −∞       −∞
                      Z ∞ Z ∞
                    1                    2 2
                 =         dλ     ϕ(ξ)e−a λ t osλ(ξ − x)dξ.
                    π 0        −∞
Ïîñëå èçìåíåíèÿ ïîðÿäêà èíòåãðèðîâàíèÿ ýòîò èíòåãðàë ìîæíî çàïèñàòü
â âèäå
                      1 ∞
                       Z          Z ∞
                                         2 2
            u(x, t) =      ϕ(ξ)dξ     e−a λ t osλ(ξ − x)dλ.   (3.15)
                      π −∞         0
  Âíóòðåííèé èíòåãðàë â (3.15) ìîæíî ÿâíî âû÷èñëèòü. Äëÿ ýòîãî ïðè
èêñèðîâàííûõ x è t ââåäåì âìåñòî λ è ξ ïåðåìåííûå z è µ ïî îðìóëàì
       √                          ξ−x       dz
     aλ t = z, λ(ξ − x) = µz ⇒ µ = √ , dλ = √ , t > 0.              (3.16)
                                   a t     a t
Ñ ó÷åòîì çàìåíû (3.16) âíóòðåííèé èíòåãðàë â (3.15) ïðèíèìàåò âèä
    Z ∞                           Z ∞
           2 2                 1         2            1
        e−a λ t osλ(ξ − x)dλ = √      e−z osµzdz ≡ √ J(µ).       (3.17)
     0                        a t 0                  a t
Çäåñü óíêöèÿ J ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèéñÿ ïî ïàðàìåòðó
µ ∈ (−∞, ∞) íåñîáñòâåííûé
                       R ∞ èíòåãðàë. Äèåðåíöèðóÿ J ïî ïàðàìåòðó µ,
                            −z 2
âûâîäèì, ÷òî J (µ) = − 0 e z sinµzdz , ïðè÷åì ýòî äèåðåíöèðîâàíèå
               ′

çàêîííî â ñèëó ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ïîëó÷åííîãî ïîñëå äèåðåíöè-
ðîâàíèÿ íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà.
   Ïðèìåíÿÿ äàëåå îðìóëó èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì
                    Z ∞           Z ∞
                         ′
                        u vdz = −     uv ′dz + uv|∞
                                                  0
                      0              0

                                    76

Страницы