Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u
1
u
2
|u
1
| ≤ M, |u
2
| ≤ M Q
T
, M = < ∞.
u = u
1
−u
2
u|
t=0
= 0 |u| ≤ 2M Q
T
T < ∞ Q
LT
= {(x, t) : |x| < L, 0 < t ≤ T }
v(x, t) =
4M
L
2
x
2
2
+ a
2
t
.
Σ
LT
Q
LT
v
Σ
LT
v(x, 0) ≥ |u(x, 0)| = 0, x ∈ [−L, L], v(±L, t) ≥ 2M ≥ |u(±L, t)|, t ∈ [0, T ],
−v(x, t) ≤ u(x, t) ≤ v(x, t) Σ
LT
v ±u Q
LT
v(x, t) − u(x, t) ≥ 0 v(x, t) + u(x, t) ≥ 0 Q
LT
−v(x, t) ≤ u(x, t) ≤
v(x, t) ∀(x, t) ∈
Q
LT
|u(x, t)| ≤ v(x, t) =
4M
L
2
x
2
2
+ a
2
t
∀(x, t) ∈
Q
LT
.
(x, t) L u(x, t) ≡
0 ∀(x, t) ∈ Q
LT
T = ∞ Q
LT
Q
LT
0
T
0
< ∞
x t Q
T
u
u(x, t) = X(x)T (t).
   Äîêàæåì åäèíñòâåííîñòü êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (3.1), (3.2).
   Òåîðåìà 3.1. Êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è (3.1), (3.2) åäèíñòâåííî.
   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóþò äâà ðåøåíèÿ u1 è
u2 çàäà÷è (3.1), (3.2) òàêèå, ÷òî
             |u1 | ≤ M,   |u2| ≤ M â QT , M =        onst < ∞.           (3.3)
Òîãäà èõ ðàçíîñòü u = u1 −u2 óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (3.1), îäíîðîäíîìó
íà÷àëüíîìó óñëîâèþ u|t=0 = 0, ïðè÷åì |u| ≤ 2M â QT . Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî
T < ∞, ââåäåì ïðÿìîóãîëüíèê QLT = {(x, t) : |x| < L, 0 < t ≤ T } è
ðàññìîòðèì â íåì óíêöèþ
                                4M x2
                                             
                                            2
                       v(x, t) = 2      +a t .                     (3.4)
                                 L    2
Îáîçíà÷èì ÷åðåç ΣLT ñóììó íèæíåé è áîêîâîé ãðàíèö ïðÿìîóãîëüíèêà
QLT . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî v ÿâëÿåòñÿ êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (3.1)
è óäîâëåòâîðÿåò â òî÷êàõ ΣLT óñëîâèÿì
v(x, 0) ≥ |u(x, 0)| = 0, x ∈ [−L, L], v(±L, t) ≥ 2M ≥ |u(±L, t)|, t ∈ [0, T ],
èëè −v(x, t) ≤ u(x, t) ≤ v(x, t) íà ΣLT . Ïðèìåíèì ïðèíöèï ìàêñèìó-
ìà ê ðàçíîñòè ìåæäó óíêöèÿìè v è ±u â îáëàñòè QLT . Áóäåì èìåòü
v(x, t) − u(x, t) ≥ 0, v(x, t) + u(x, t) ≥ 0 íà QLT , èëè −v(x, t) ≤ u(x, t) ≤
v(x, t) ∀(x, t) ∈ QLT . Îòñþäà âûâîäèì, ÷òî
                                  4M x2
                                                
                                               2
             |u(x, t)| ≤ v(x, t) = 2        + a t ∀(x, t) ∈ QLT .        (3.5)
                                   L      2
Ôèêñèðóÿ çíà÷åíèÿ (x, t) è óñòðåìëÿÿ L ê áåñêîíå÷íîñòè, ïîëó÷èì u(x, t) ≡
0 ∀(x, t) ∈ QLT . Åñëè æå T = ∞, òî âìåñòî QLT ñëåäóåò âûáðàòü ïðÿìî-
óãîëüíèê QLT0 êîíå÷íîé âûñîòû T0 < ∞ è ïîâòîðèòü ïðåäûäóùèå ðàññóæ-
äåíèÿ.
   Çàìå÷àíèå 3.1. Îòìåòèì, ÷òî ïðèíöèï ìàêñèìóìà äëÿ óðàâíåíèÿ òåï-
ëîïðîâîäíîñòè (3.1) â íåîãðàíè÷åííîé ïî x ëèáî t îáëàñòè QT íå ñïðàâåäëèâ
õîòÿ áû ïîòîìó, ÷òî ðåøåíèå u óðàâíåíèÿ (3.1) ìîæåò íå äîñòèãàòü â òàêîé
îáëàñòè íàèáîëüøåãî èëè íàèìåíüøåãî çíà÷åíèé.
   Çàìå÷àíèå 3.2. Ïî àíàëîãè÷íîé ñõåìå äîêàçûâàåòñÿ òåîðåìà åäèí-
ñòâåííîñòè êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (3.1), (3.2) äëÿ íåîäíî-
ðîäíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè. Îíà áóäåò ðàññìîòðåíà â ï. 3.4.
   3.2. Ïðèìåíåíèå ìåòîäà Ôóðüå. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ
ðåøåíèÿ çàäà÷è (3.1), (3.2) è îäíîâðåìåííî íàõîæäåíèÿ åãî â ÿâíîì âèäå
ïðèìåíèì ìåòîä Ôóðüå. Ñëåäóÿ ýòîìó ìåòîäó, áóäåì ñíà÷àëà èñêàòü ÷àñò-
íûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (3.1) â âèäå
                             u(x, t) = X(x)T (t).                        (3.6)

                                      74

Страницы