Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

T
k
T
k
(0) = 0, k = 1, 2, .. .
T
k
k
T
k
(t) =
Z
t
0
e
−ω
2
k
(t−τ)
f
k
(τ)dτ.
T
k
(t)
u(x, t) =
∞
X
k=1
Z
t
0
e
−ω
2
k
(t−τ)
f
k
(τ)dτ
sin
kπx
l
.
§1
t x
Q
T
g
i
∈ C
1
[0, T ], i = 1, 2
w(x, t) = g
1
(t) + [g
2
(t) − g
1
(t)]
x
l
.
u
u(x, t) = v(x, t) + w(x, t),
v
v Q
T
∂v
∂t
= a
2
∂
2
v
∂x
2
+
f(x, t),
f(x, t) ≡ f(x, t) −
∂w
∂t
+ a
2
∂
2
w
∂x
2
,
v|
x=0
= u(0, t) − w(0, t) = 0, v|
x=l
= u(l, t) − w(l, t) = 0, t ∈ (0, T ]
òî îòñþäà ïîëó÷àåì íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ Tk :

                           Tk (0) = 0, k = 1, 2, .. .                     (2.24)

   åøåíèå Tk ëèíåéíîé îäíîìåðíîé çàäà÷è Êîøè (2.23), (2.24) ïðè êàæäîì
k ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííî è, êàê ëåãêî ïðîâåðèòü, èìååò âèä
                                Z t
                                       2
                       Tk (t) =     e−ωk (t−τ ) fk (τ )dτ.         (2.25)
                                   0

Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå (2.25) äëÿ Tk (t) â ðÿä (2.20), ïîëó÷èì èñêîìîå ðå-
øåíèå çàäà÷è 3 â âèäå
                         ∞ Z t                      
                         X         2                      kπx
               u(x, t) =        e−ωk (t−τ ) fk (τ )dτ sin     .   (2.26)
                             0                             l
                           k=1

àññóæäàÿ, êàê è â §1 ãë. 4, ëåãêî ïîêàçûâàåì, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé
(ii) ðÿä (2.26), à òàêæå ðÿäû, ïîëó÷åííûå äèåðåíöèðîâàíèåì ðÿäà (2.26)
îäèí ðàç ïî t ëèáî äâà ðàçà ïî x, ðàâíîìåðíî ñõîäÿòñÿ â çàìêíóòîé îáëàñòè
QT . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ðÿä (2.26) ÿâëÿåòñÿ èñêîìûì ðåøåíèåì çàäà÷è 3.
    Çàìå÷àíèå 2.3. Åñëè îäíîðîäíîå íà÷àëüíîå óñëîâèå (2.19) çàìåíèòü
íåîäíîðîäíûì íà÷àëüíûì óñëîâèåì (2.3), òî â ñèëó ïðèíöèïà ñóïåðïîçèöèè
ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà÷è (2.17), (2.18), (2.3) áóäåò ðàâíî ñóììå
ðåøåíèé (2.12) è (2.26) çàäà÷ 2 è 3 ñîîòâåòñòâåííî.
    Âåðíåìñÿ òåïåðü ê îáùåé íåîäíîðîäíîé êðàåâîé çàäà÷å 1. Ïðåäïîëàãàÿ,
÷òî gi ∈ C 1 [0, T ], i = 1, 2, ââåäåì óíêöèþ
                                                          x
                      w(x, t) = g1 (t) + [g2 (t) − g1 (t)] .              (2.27)
                                                          l
Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå u èñõîäíîé çàäà÷è 1 â âèäå

                          u(x, t) = v(x, t) + w(x, t),                    (2.28)

ãäå v  íîâàÿ èñêîìàÿ óíêöèÿ. Ïîäñòàâëÿÿ (2.28) â (2.1)(2.3), ïîëó÷èì,
÷òî óíêöèÿ v óäîâëåòâîðÿåò â QT íåîäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ
                                   2
                            ∂v   2∂ v
                               =a     + f (x, t),                         (2.29)
                            ∂t    ∂x2
ãäå
                                               2
                                        ∂w   2∂ w
                  f (x, t) ≡ f (x, t) −    +a     ,
                                        ∂t    ∂x2
îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì

 v|x=0 = u(0, t) − w(0, t) = 0, v|x=l = u(l, t) − w(l, t) = 0, t ∈ (0, T ] (2.30)

                                       72

Страницы