Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

0 <
k
2
π
2
a
2
l
2
e
−λ
k
a
2
t
< 1, 0 <
k
2
π
2
l
2
e
−λ
k
a
2
t
< 1,
k
C
2,1
(Q
T
) ∩ C(Q
T
)
u
ϕ
t ≥ 0
t = 0
t
u [−T, 0]
t = 0 x = 0
x = 1
u
−
t u
−
t
ϕ
u
−
u
−
k
(x, t) = α
k
e
−λ
k
a
2
t
sin
kπx
l
,
{α
k
}
∞
k=1
u
−
k
(x, 0) ≡ α
k
sin
kπx
l
k → ∞
t < 0 u
−
k
(x, t)
k → ∞ u
−
t
t = 0
âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà
                    k 2 π 2 a2 −λk a2 t         k 2π 2 −λk a2 t
                0<            e         < 1, 0 < 2 e            < 1, (2.16)
                        l2                        l
åñëè k äîñòàòî÷íî âåëèêî. Ñîðìóëèðóåì ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò.
   Òåîðåìà 2.1. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (i) ñóììà ðÿäà (2.12) ñ êî-
ýèöèåíòàìè (2.14) ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó C 2,1 (QT ) ∩ C(QT ) è
ÿâëÿåòñÿ êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì çàäà÷è (2.3)-(2.5).
   Çàìå÷àíèå 2.1. Êàê óæå óêàçûâàëîñü âûøå, ðåøåíèå u çàäà÷è (2.3)
(2.5) åäèíñòâåííî è íåïðåðûâíî çàâèñèò îò íà÷àëüíîé óíêöèè ϕ. Îòñþäà
è èç òåîðåìû 2.1 âûòåêàåò, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (i) çàäà÷à (2.3)
(2.5) ïîñòàâëåíà êîððåêòíî äëÿ t ≥ 0 (åñëè íà÷àëüíûå óñëîâèÿ çàäàíû ïðè
t = 0).
   Çàìå÷àíèå 2.2. Îáðàòèâøèñü ê çàäà÷å 2, ðàññìîòðèì åå äëÿ îòðèöà-
òåëüíûõ çíà÷åíèé âðåìåíè t. Äðóãèìè ñëîâàìè, ðàññìîòðèì çàäà÷ó îïðå-
äåëåíèÿ ðåøåíèÿ u íà èíòåðâàëå [−T, 0] ïðè óñëîâèè, ÷òî çàäàíî ðàñïðåäå-
ëåíèå òåìïåðàòóð â êîíå÷íûé ìîìåíò âðåìåíè t = 0, à íà êîíöàõ x = 0 è
x = 1 òåìïåðàòóðà ðàâíà íóëþ. Óêàçàííóþ çàäà÷ó íàçûâàþò ïåðâîé êðà-
åâîé çàäà÷åé äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè ñ îáðàòíûì âðåìåíåì Â
èçè÷åñêîì ïëàíå äàííàÿ çàäà÷à çàêëþ÷àåòñÿ â îïðåäåëåíèè ýâîëþöèè íà-
ãðåâàíèÿ òåëà ïî çàäàííîìó åãî òåïëîâîìó ñîñòîÿíèþ â êîíå÷íûé ìîìåíò
âðåìåíè.
   Äîïóñòèì, ÷òî çàäà÷à (2.3)(2.5) èìååò ðåøåíèå u− ïðè îòðèöàòåëüíûõ
t. Ïðîñòîé àíàëèç ïîêàçûâàåò, ÷òî ðåøåíèå u− ìîæíî êàê óãîäíî ñèëüíî
èçìåíèòü ïðè ñêîëü óãîäíî ìàëûõ îòðèöàòåëüíûõ t, èçìåíÿÿ êàê óãîäíî
ìàëî óíêöèþ ϕ è åå ïðîèçâîäíûå äî ïðîèçâîëüíîãî èêñèðîâàííîãî ïî-
ðÿäêà. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ê ðåøåíèþ u− ïðèáàâèòü ÷àñòíîå ðåøåíèå
óðàâíåíèÿ (2.4) âèäà
                                             2        kπx
                        u−
                         k (x, t) = αk e
                                        −λk a t
                                                sin       ,
                                                       l
ãäå {αk }∞
         k=1  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñòðåìÿùàÿñÿ ê íóëþ. ßñ-
íî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü u−                    kπx
                              k (x, 0) ≡ αk sin l ðàâíîìåðíî ñòðåìèòñÿ ê
íóëþ ïðè k → ∞. Â òî æå âðåìÿ äëÿ ëþáîãî ñêîëü óãîäíî áëèçêîãî ê íóëþ
çíà÷åíèÿ t < 0 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü u−   k (x, t) íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò ïðè
k → ∞. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðåøåíèå u− âåäåò ñåáÿ íåóñòîé÷èâî ïî îòíî-
øåíèþ ê ìàëûì âîçìóùåíèÿì íà÷àëüíûõ äàííûõ. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî
çàäà÷à 2 ïîñòàâëåíà íåêîððåêòíî äëÿ îòðèöàòåëüíûõ t, åñëè íà÷àëüíûå
óñëîâèÿ çàäàþòñÿ ïðè t = 0. Òàêèì îáðàçîì, íà÷àëüíî-êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ
óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè ñ îáðàòíûì âðåìåíåì äàåò â äîïîëíåíèå ê
çàäà÷å Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà åùå îäèí ïðèìåð íåêîððåêòíî ïîñòàâ-
ëåííûõ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè.

                                       70

Страницы