Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u(x, t) = X(x)T (t).
T
T
′
(t) + a
2
λT (t) = 0,
X
′′
+ λX = 0 (0, l), X(0) = X(l) = 0
X
λ
k
X
k
λ
k
=
kπ
l
2
, X
k
(x) = sin
kπ
l
x, k = 1 , 2, ... .
λ
k
λ
T
k
(t) = a
k
e
−λ
k
a
2
t
≡ a
k
exp
−(
kπa
l
)
2
t
, k = 1, 2, ... .
a
k
, k = 1, 2, ...
u
k
(x, t) = T
k
(t)X
k
(x) = a
k
e
−λ
k
a
2
t
sin
kπx
l
, k = 1, 2... .
u
k
k
a
k
u(x, t) =
∞
X
k=1
a
k
e
−λ
k
a
2
t
X
k
(x)
Q
T
= [0, l]×
[0, T ]
x
óðàâíåíèé. Â ýòîì, ñîáñòâåííî, ìîæíî áûëî óáåäèòüñÿ è âûøå ïðè äîêàçà-
òåëüñòâå ïðèíöèïà ìàêñèìóìà, êîòîðûé ñïðàâåäëèâ èìåííî äëÿ ïàðàáîëè-
÷åñêèõ óðàâíåíèé, íî íå ñïðàâåäëèâ äëÿ âîëíîâûõ óðàâíåíèé.
   Òàê æå, êàê è â ãë. 4, ïðèìåíèì äëÿ íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è 2 ìåòîä
Ôóðüå. Ñëåäóÿ åìó, áóäåì èñêàòü ÷àñòíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.4) â âèäå
                              u(x, t) = X(x)T (t).                         (2.6)
Ïîäñòàâëÿÿ (2.6) â (2.4), (2.5) è ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå, ïðèõîäèì ê îáûêíî-
âåííîìó äèåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ äëÿ T , èìåþùåìó âèä

                              T ′ (t) + a2 λT (t) = 0,                     (2.7)
è ñïåêòðàëüíîé çàäà÷å
                 X ′′ + λX = 0 â (0, l), X(0) = X(l) = 0                   (2.8)
äëÿ íàõîæäåíèÿ íåèçâåñòíîé óíêöèè X . Â ãë. 4 áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ðåøå-
íèå ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è (2.8), ò. å. ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λk è ñîáñòâåííûå
óíêöèè Xk , îïðåäåëÿþòñÿ îðìóëàìè
                    2
                    kπ                     kπ
              λk =        , Xk (x) = sin x, k = 1, 2, ... .           (2.9)
                     l                      l
Ïîäñòàâèì â (2.7) λk âìåñòî λ è çàïèøåì îáùåå ðåøåíèå ïîëó÷åííîãî óðàâ-
íåíèÿ â âèäå
                                              
                    −λk a2 t             kπa 2
       Tk (t) = ak e         ≡ ak exp −(    ) t , k = 1, 2, ... . (2.10)
                                          l
Çäåñü ak , k = 1, 2, ...  ïîêà ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.
  Â ñîîòâåòñòâèè ñ (2.6) ââåäåì óíêöèè
                                                2   kπx
       uk (x, t) = Tk (t)Xk (x) = ak e−λk a t sin       , k = 1, 2... .   (2.11)
                                                     l
Èç ïîñòðîåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî óíêöèè uk ïðè ëþáîì k è ëþáûõ ïîñòîÿí-
íûõ ak óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ (2.4) è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2.5). Òî æå
ñàìîå ñïðàâåäëèâî è äëÿ ëþáîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè óíêöèé (2.11), à
òàêæå ðÿäà
                                ∞
                                           2
                                X
                      u(x, t) =   ak e−λk a t Xk (x)             (2.12)
                                     k=1

ïðè óñëîâèè, ÷òî îí ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ â çàìêíóòîé îáëàñòè QT = [0, l]×
[0, T ] (ïðè âûïîëíåíèè ýòîãî óñëîâèÿ ðÿä (2.12) óäîâëåòâîðÿåò ãðàíè÷íûì
óñëîâèÿì (2.5)), è åãî ìîæíî äâàæäû ïî÷ëåííî äèåðåíöèðîâàòü ïî x

                                           68

Страницы