Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

t Q
T
(x, t) ∈ Q
T
a
k
ϕ(x) =
∞
X
k=1
a
k
sin
kπx
l
.
ϕ
(0, l)
C[0, l] a
k
ϕ
a
k
=
2
l
l
Z
0
ϕ(x) sin
kπx
l
dx, k = 1, 2... .
u
a
k
Q
T
x t Q
T
ϕ
ϕ ∈ C[0, l] ϕ
′
[0, l] ϕ(0) = ϕ(l) = 0
a
k
ϕ [0, l] t ≥ 0
0 < e
−λ
k
a
2
t
≤ 1
a
k
0 ≤ x ≤ l t ≥ 0
u Q
T
u Q
T
−a
2
∞
X
k=1
a
k
kπ
l
2
e
−λ
k
a
2
t
sin
kπx
l
−
∞
X
k=1
a
k
kπ
l
2
e
−λ
k
a
2
t
sin
kπx
l
,
t
x Q
T
t > 0
è îäèí ðàç ïî t âíóòðè QT (ïðè âûïîëíåíèè ýòèõ óñëîâèé ðÿä (2.12) óäî-
âëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (2.4) â êàæäîé òî÷êå (x, t) ∈ QT ). Ïðåäïîëàãàÿ ýòè
óñëîâèÿ âûïîëíåííûìè, âûáåðåì ïîñòîÿííûå ak â (2.12) òàê, ÷òîáû â äîïîë-
íåíèå ê íèì âûïîëíÿëîñü íà÷àëüíîå óñëîâèå (2.3). Ñ ýòîé öåëüþ ïîäñòàâèì
(2.12) â (2.3). Ïîëó÷èì
                                         ∞
                                         X              kπx
                                ϕ(x) =         ak sin       .              (2.13)
                                                         l
                                         k=1

   Ôîðìóëà (2.13) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàçëîæåíèå çàäàííîé óíêöèè ϕ â
ðÿä Ôóðüå ïî ñèíóñàì â èíòåðâàëå (0, l). Èç òåîðèè ðÿäîâ Ôóðüå (ñì., íà-
ïðèìåð, [19, ãë. 10℄) âûòåêàåò, ÷òî ñèñòåìà ñèíóñîâ â (2.9) ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé
â ïðîñòðàíñòâå íåïðåðûâíûõ óíêöèé C[0, l], ïðè÷åì êîýèöèåíòû ak
ðàçëîæåíèÿ (2.13) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ïî (íåïðåðûâíîé) óíêöèè ϕ
ñ ïîìîùüþ îðìóë
                            Zl
                        2                   kπx
                   ak =          ϕ(x) sin       dx, k = 1, 2... .          (2.14)
                        l                    l
                            0

   Òåì ñàìûì ðåøåíèå u çàäà÷è 2 ïîñòðîåíî. Îíî èìååò âèä ðÿäà (2.12), ãäå
ak îïðåäåëÿþòñÿ îðìóëàìè (2.14), ïðè óñëîâèè, êîíå÷íî, ÷òî ðÿä (2.12)
ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ â çàìêíóòîé îáëàñòè QT , è åãî ìîæíî äâàæäû ïî÷ëåí-
íî äèåðåíöèðîâàòü ïî x è îäèí ðàç ïî t â QT . ×òîáû ïîêàçàòü ïîñëåäíåå,
ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà÷àëüíàÿ óíêöèÿ ϕ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì
   (i) ϕ ∈ C[0, l], ϕ′ êóñî÷íî-íåïðåðûâíà â [0, l], ϕ(0) = ϕ(l) = 0.
Èç [19, ãë. 10℄ ñëåäóåò, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (i) ðÿä â ïðàâîé ÷à-
ñòè (2.13) ñ êîýèöèåíòàìè ak , îïðåäåëÿåìûìè îðìóëàìè (2.14), ðàâ-
íîìåðíî è àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ ê óíêöèè ϕ íà [0, l]. Òàê êàê ïðè t ≥ 0
          2
0 < e−λk a t ≤ 1, òî ðÿä (2.12) ñ ýòèìè æå êîýèöèåíòàìè ak òàêæå ñõî-
äèòñÿ àáñîëþòíî è ðàâíîìåðíî ïðè 0 ≤ x ≤ l è t ≥ 0.  òàêîì ñëó÷àå
óíêöèÿ u, îïðåäåëÿåìàÿ ðÿäîì (2.12), íåïðåðûâíà â QT è óäîâëåòâîðÿ-
åò íà÷àëüíîìó è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2.3) è (2.5). Îñòàåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî
óíêöèÿ u â (2.12) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (2.4) â êàæäîé òî÷êå QT . Äëÿ
ýòîãî äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ðÿäû
       ∞      2                          ∞     2
      X       kπ            2      kπx     X       kπ          2      kπx
 −a2      ak          e−λk a t sin     è −   ak          e−λk a t sin     , (2.15)
               l                    l               l                  l
      k=1                                        k=1

ïîëó÷åííûå ïî÷ëåííûì äèåðåíöèðîâàíèåì ðÿäà (2.12) îäèí ðàç ïî t
ëèáî äâàæäû ïî x, òàêæå àáñîëþòíî è ðàâíîìåðíî ñõîäÿòñÿ â îáëàñòè QT .
Ïîñëåäíåå æå óòâåðæäåíèå âûòåêàåò èç òîãî àêòà, ÷òî ïðè ëþáîì t > 0

                                            69

Страницы