Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Q
T
u|
x=0
= g
1
(t), u|
x=l
= g
2
(t) (0, T ]
u|
t=0
= ϕ(x) (0, l).
f, g
1
, g
2
ϕ
f
g
1
, g
2
ϕ
n = 1 u
C(Q
T
) C
ϕ g
1
g
2
f
u
u
∂u
∂t
= a
2
∂
2
u
∂x
2
Q
T
u|
x=0
= 0, u|
x=l
= 0 (0, T ]
l
ϕ
u
u ∂u/∂t
â îáëàñòè QT , ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì

                   u|x=0 = g1 (t), u|x=l = g2 (t) â (0, T ]            (2.2)

è íà÷àëüíîìó óñëîâèþ
                          u|t=0 = ϕ(x) â (0, l).                       (2.3)
Çäåñü f, g1 , g2 è ϕ  çàäàííûå íåïðåðûâíûå óíêöèè ñâîèõ àðãóìåíòîâ,
ïðè÷åì, â ÷àñòíîñòè, f èìååò ñìûñë ïëîòíîñòè âíåøíèõ (îáúåìíûõ) èñòî÷-
íèêîâ òåïëà. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë óíêöèé g1 , g2 è ϕ ïðè òåìïåðàòóðíîé
èíòåðïðåòàöèè óðàâíåíèÿ (2.1) ïîÿñíåí ⠟1.
   Èç òåîðåìû 1.3 ïðè n = 1 âûòåêàåò, ÷òî êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå u çà-
äà÷è (2.1)-(2.3) åäèíñòâåííî è íåïðåðûâíî â íîðìå C(QT ) çàâèñèò îò C 
íîðì èñõîäíûõ äàííûõ: íà÷àëüíîé óíêöèè ϕ, ãðàíè÷íûõ óíêöèé g1 , g2
è ïðàâîé ÷àñòè f . Ïîýòîìó íàì îñòàåòñÿ äîêàçàòü ëèøü ñóùåñòâîâàíèå ðå-
øåíèÿ u çàäà÷è (2.3)(2.5). Ïðèìåíèì äëÿ ýòîé öåëè ìåòîä Ôóðüå, êîòîðûé
îäíîâðåìåííî ïîçâîëèò íàéòè ÿâíîå ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ u.
   àññìîòðèì ñíà÷àëà áîëåå ïðîñòóþ çàäà÷ó, çàêëþ÷àþùóþñÿ â íàõîæäå-
íèè ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè
                                       2
                                ∂u   2∂ u
                                   =a                                  (2.4)
                                ∂t    ∂x2
â îáëàñòè QT , óäîâëåòâîðÿþùåãî îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì

                      u|x=0 = 0, u|x=l = 0 â (0, T ]                   (2.5)
è íà÷àëüíîìó óñëîâèþ (2.3). Çàäà÷à (2.3)(2.5) ìîäåëèðóåò ðàñïðåäåëåíèå
òåìïåðàòóðû â îäíîðîäíîé ñòðóíå (ëèáî îäíîðîäíîì ñòåðæíå) äëèíû l ïðè
óñëîâèè, ÷òî íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû îïèñûâàåòñÿ óíêöèåé
ϕ, à òåìïåðàòóðà íà êîíöàõ ñòðóíû (ëèáî ñòåðæíÿ) ðàâíà íóëþ. Íèæå
íà çàäà÷è (2.1)(2.3) è (2.3)(2.5) áóäåì ññûëàòüñÿ êàê íà çàäà÷è 1 è 2
ñîîòâåòñòâåííî.
   Îòìåòèì, ÷òî çàäà÷à (2.3)(2.5) îòëè÷àåòñÿ îò çàäà÷è (4.1.1)(4.1.3) (ñì.
ãë. 4) äëÿ îäíîìåðíîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùåãî êîëåáàíèÿ îä-
íîðîäíîé ñòðóíû, òåì, ÷òî (2.3)(2.5) ñîäåðæèò îäíî íà÷àëüíîå óñëîâèå
(äëÿ óíêöèè u), òîãäà êàê (4.1.1)(4.1.3) âêëþ÷àåò äâà íà÷àëüíûõ óñëî-
âèÿ  êàê äëÿ óíêöèè u, òàê è äëÿ ïðîèçâîäíîé ∂u/∂t. Ïîñëåäíåå ìîæíî
îáúÿñíèòü òåì, ÷òî óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè, áóäó÷è óðàâíåíèåì 1-ãî
ïîðÿäêà ïî âðåìåíè, òðåáóåò äëÿ âûäåëåíèÿ åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ îäíî-
ãî íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ, òîãäà êàê âîëíîâîå óðàâíåíèå, ÿâëÿÿñü óðàâíåíèåì
2-ãî ïîðÿäêà ïî âðåìåíè, òðåáóåò äâóõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé. Òàêîå, êàçà-
ëîñü áû, íåáîëüøîå îòëè÷èå ìåæäó óðàâíåíèÿìè (2.4) è (4.1.1) ïðèâîäèò,
êàê ìû óâèäèì íèæå, ê î÷åíü áîëüøîé ðàçíèöå â ïîâåäåíèè ðåøåíèé ýòèõ

                                     67

Страницы