Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u : Q
∞
→ R
v : Q
T
→ R
v(x, t) = u(x, t) −
M
ρ
0
t, ρ
0
= min
x∈
Ω
ρ(x) > 0.
v
f g
˜
f = f −
ρ
ρ
0
M −
q
ρ
0
Mt
˜g = g −
M
ρ
0
t
˜
f(x, t) ≤ 0 ∀(x, t) ∈
Q
T
, ˜g(x, t) ≤ M
1
∀(x, t) ∈ Γ × [0, T ].
v
v(x, t) ≤ max(M
0
, M
1
) ∀(x, t) ∈ Q
T
.
u
u(x, t) ≤ max(M
0
, M
1
) +
M
ρ
0
T ∀(x, t) ∈
Q
T
.
w(x, t) = u(x, t) + (M/ρ
0
)t
u
u(x, t) ≥ −max(M
0
, M
1
) −
M
ρ
0
T ∀(x, t) ∈
Q
T
.
u
kuk
C(
Q
T
)
≤ max
n
kϕk
C(Ω)
, kgk
C(Γ×[0,T ])
o
+
T
ρ
0
kfk
C(Q
T
)
.
ϕ = 0 g = 0 f = 0
C(Q)
C(Q
T
)
ϕ g f u
(ϕ, g, f) ˜u
( ˜ϕ, ˜g,
˜
f) ˜u−u
k˜u − uk
C(
Q
T
)
≤ max
k˜ϕ − ϕk
C(Ω)
, k˜g − gk
C(Γ×[0,T ])
+
T
ρ
0
k
˜
f − fk
C(Q
T
)
.
  Ïóñòü óíêöèÿ u : Q∞ → R ÿâëÿåòñÿ êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì çàäà÷è 1.
Ââåäåì óíêöèþ v : QT → R ïî îðìóëå
                                      M
                v(x, t) = u(x, t) −      t, ρ0 = min ρ(x) > 0.          (1.16)
                                      ρ0         x∈Ω

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî óíêöèÿ v ÿâëÿåòñÿ êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì çàäà÷è
(1.8), (1.2), (1.3), â êîòîðîé óíêöèè f è g ñëåäóåò çàìåíèòü íà óíêöèè
                          ρ   q             M
                  f˜ = f − M − Mt è g̃ = g − t                          (1.17)
                          ρ0  ρ0            ρ0
ñîîòâåòñòâåííî. ßñíî, ÷òî
     f˜(x, t) ≤ 0 ∀(x, t) ∈ QT , g̃(x, t) ≤ M1 ∀(x, t) ∈ Γ × [0, T ].   (1.18)
 ñèëó ïåðâîãî óñëîâèÿ â (1.18) äëÿ óíêöèè v ñïðàâåäëèâ ïðèíöèï ìàê-
ñèìóìà (1.9), ñîãëàñíî êîòîðîìó âûïîëíÿåòñÿ îöåíêà
                    v(x, t) ≤ max(M0, M1 ) ∀(x, t) ∈ QT .               (1.19)
Èç (1.16) è (1.19) ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé îöåíêå ñâåðõó äëÿ ðåøåíèÿ u:
                                            M
                u(x, t) ≤ max(M0, M1) +        T ∀(x, t) ∈ QT .         (1.20)
                                            ρ0
  Òî÷íî òàê æå, ðàññìàòðèâàÿ óíêöèþ w(x, t) = u(x, t) + (M/ρ0)t è ïðè-
ìåíÿÿ ê íåé ïðèíöèï ìèíèìóìà (1.10), ïðèõîäèì ê îöåíêå ñíèçó äëÿ u:
                                             M
               u(x, t) ≥ − max(M0, M1 ) −       T ∀(x, t) ∈ QT .        (1.21)
                                             ρ0
Èç (1.20) è (1.21) ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé îöåíêå äëÿ u:
                        n                      o T
       kukC(QT ) ≤ max kϕkC(Ω) , kgkC(Γ×[0,T ]) + kf kC(QT ) .          (1.22)
                                                 ρ0
   Èç îöåíêè (1.22) âûòåêàåò, â ÷àñòíîñòè, ÷òî îäíîðîäíàÿ çàäà÷à 1 (ïðè
ϕ = 0, g = 0, f = 0) èìååò ëèøü òðèâèàëüíîå ðåøåíèå.  òàêîì ñëó÷àå ñà-
ìà îöåíêà (1.22) îçíà÷àåò óñòîé÷èâîñòü íóëåâîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è 1 â íîðìå
C(Q). Îòñþäà ñ ó÷åòîì ëèíåéíîñòè çàäà÷è 1 è ðåçóëüòàòî⠟ 1 ãë. 2 âûòå-
êàåò óñòîé÷èâîñòü â íîðìå C(QT ) ëþáîãî êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è 1
ïî èñõîäíûì äàííûì ϕ, g è f . Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî åñëè u  ðåøåíèå
çàäà÷è 1, îòâå÷àþùåå èñõîäíûì äàííûì (ϕ, g, f ), à ũ  ðåøåíèå çàäà÷è 1,
îòâå÷àþùåå èñõîäíûì äàííûì (ϕ̃, g̃, f˜), òî â ñèëó (1.22) äëÿ ðàçíîñòè ũ − u
ñïðàâåäëèâà îöåíêà
                                                         T
  kũ − ukC(QT ) ≤ max kϕ̃ − ϕkC(Ω) , kg̃ − gkC(Γ×[0,T ]) + kf˜ − f kC(QT ) .
                                                           ρ0
                                       65

Страницы