Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

R
n
Ω
R
n
Γ Q
∞
= Ω×(0, ∞)
Q
∞
= Ω × [0, ∞) Σ
∞
= Γ × (0, ∞) Σ
∞
= Γ × [0, ∞) Q
T
= Ω × (0, T ]
T < ∞ Q
∞
ρ
∂u
∂t
− div(pgradu) + qu = f(x, t).
ρ p q f
ρ ∈ C(Ω) p ∈ C
1
(Ω) q ∈ C(Ω) ρ > 0 p > 0 q ≥ 0 Ω f ∈ C(Q
∞
)
q = 0
p
ρ = 1
p
q ≥ 0
u ∈ C
2,1
(Q
∞
) ∩C(Q
∞
)
Q
∞
T > 0 f(x, t) ≤ 0 Q
T
u ≤ 0 Q
T
u
Q
T
Ω
0
Q
T
Γ×(0, T ]
u(x, t) ≤ M ≡ max[0, max
x∈
Ω
u(x, 0), max
(x,t)∈Γ×[0,T ]
u(x, t)] ∀(x, t) ∈
Q
T
;
f(x, t) ≥ 0 Q
T
u(x, t) ≥ m ≡ m in [0, min
x∈
Ω
u(x, 0), min
(x,t)∈Γ×[0,T ]
u(x, t)],
u
u
Q
T
Ω
0
Σ
T
(x
0
, t
0
), x
0
∈
Ω, 0 < t
0
≤ T
u(x
0
, t
0
) > M > 0.
òî èññëåäîâàíèå èõ ðàçðåøèìîñòè ìîæíî íàéòè â [11, Ÿ 34℄, [28, ãë. 3℄, [34,
ãë. 6℄.
  1.2. Ïðèíöèï ìàêñèìóìà äëÿ íåîäíîðîäíîãî ïàðàáîëè÷åñêîãî
óðàâíåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè êîýèöèåíòàìè â           Rn . Ïóñòü Ω  îãðàíè-
÷åííàÿ îáëàñòü â ïðîñòðàíñòâå Rn ñ ãðàíèöåé Γ. Ïîëîæèì Q∞ = Ω×(0, ∞),
Q∞ = Ω × [0, ∞), Σ∞ = Γ × (0, ∞), Σ∞ = Γ × [0, ∞), QT = Ω × (0, T ] ïðè
ëþáîì T < ∞. àññìîòðèì â áåñêîíå÷íîì öèëèíäðå Q∞ íåîäíîðîäíîå
óðàâíåíèå ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà ñ ïåðåìåííûìè êîýèöèåíòàìè âèäà
                        ∂u
                    ρ      − div(pgradu) + qu = f (x, t).                            (1.8)
                        ∂t
Çäåñü ρ, p, q è f  çàäàííûå óíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì
   (ii) ρ ∈ C(Ω), p ∈ C 1 (Ω), q ∈ C(Ω), ρ > 0, p > 0, q ≥ 0 â Ω, f ∈ C(Q∞).
   Èç ðåçóëüòàòî⠟ 4 ãë. 1 ñëåäóåò, ÷òî óðàâíåíèå (1.8) îïèñûâàåò ðàñ-
ïðîñòðàíåíèå òåïëà (ïðè q = 0) â íåîäíîðîäíîé ñðåäå ñ ïåðåìåííûì êî-
ýèöèåíòîì òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòè p ëèáî ðàñïðîñòðàíåíèå âåùåñòâà
(ïðè ρ = 1) â íåîäíîðîäíîé ñðåäå ñ ïåðåìåííûì êîýèöèåíòîì äèó-
çèè p ïðè íàëè÷èè ýåêòà ïîãëîùåíèÿ âåùåñòâà â ñðåäå, îïèñûâàåìîãî
êîýèöèåíòîì q ≥ 0.
   Òåîðåìà 1.2 (Ïðèíöèï ìàêñèìóìà). Ïóñòü ïðè âûïîëíåíèè óñëî-
âèé (ii) óíêöèÿ u ∈ C 2,1(Q∞ ) ∩ C(Q∞ ) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (1.8) â
Q∞ è T > 0 - ëþáîå ÷èñëî. Òîãäà: 1) åñëè f (x, t) ≤ 0 â öèëèíäðå QT , òî
ëèáî u ≤ 0 â QT , ëèáî óíêöèÿ u ïðèíèìàåò ñâîé (ïîëîæèòåëüíûé) ìàê-
ñèìóì â öèëèíäðå QT íà íèæíåì îñíîâàíèè Ω0 öèëèíäðà QT èëè íà åãî
áîêîâîé ïîâåðõíîñòè Γ×(0, T ], ò. å. ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî, íàçûâàåìîå
ïðèíöèïîì ìàêñèìóìà:
  u(x, t) ≤ M ≡ max[0, max u(x, 0),         max           u(x, t)] ∀(x, t) ∈ QT ;    (1.9)
                           x∈Ω           (x,t)∈Γ×[0,T ]

2) åñëè f (x, t) ≥ 0 â QT , òî ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
            u(x, t) ≥ m ≡ min [0, min u(x, 0),             min       u(x, t)],      (1.10)
                                   x∈Ω              (x,t)∈Γ×[0,T ]

íàçûâàåìîå ïðèíöèïîì ìèíèìóìà äëÿ ðåøåíèÿ u óðàâíåíèÿ (1.8).
   Äîêàçàòåëüñòâî. Êàê è â ï. 1.2, ïðèìåíèì äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïðèí-
öèïà ìàêñèìóìà ìåòîä áàðüåðîâ. Äîêàæåì ñïðàâåäëèâîñòü íåðàâåíñòâà
(1.9). Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ò. å. ÷òî óíêöèÿ u ïðèíèìàåò â íåêîòî-
ðûõ òî÷êàõ öèëèíäðà QT ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ, íî íå äîñòèãàåò ñâîåãî
(ïîëîæèòåëüíîãî) ìàêñèìóìà íè íà åãî íèæíåì îñíîâàíèè Ω0 íè íà åãî
áîêîâîé ãðàíèöå ΣT .  òàêîì ñëó÷àå íàéä¼òñÿ òàêàÿ òî÷êà (x0 , t0 ), x0 ∈
Ω, 0 < t0 ≤ T , ÷òî
                           u(x0, t0 ) > M > 0.                      (1.11)

                                      63

Страницы