Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u(x
0
, t
0
) = M
v(x, t) = u(x, t) +
M − m
6d
2
(x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
+ (z − z
0
)
2
,
u d Ω
Σ
T
Q
T
Ω
0
v(x, t) ≤ m +
M − m
6
=
M
6
+
5m
6
< M.
v(x
0
, t
0
) = u(x
0
, t
0
) = M v
u Σ
T
Q
T
t = 0
v
(x
1
, t
1
) = (x
1
, y
1
, z
1
, t
1
) ∈ Q
T
= Ω × (0, T ] x
1
Ω 0 < t
1
≤ T (x
1
, t
1
)
v
gradv = 0,
∂
2
v
∂x
2
≤ 0,
∂
2
v
∂y
2
≤ 0,
∂
2
v
∂z
2
≤ 0,
∂v
∂t
≥ 0.
t
1
< T ∂v/∂t = 0
(x
1
, t
1
)
∂v
∂t
− a
2
∆v ≥ 0.
(x, t) ∈ Ω × (0, T ]
∂v
∂t
− a
2
∆v =
∂u
∂t
− a
2
∆u − a
2
M − m
d
2
= −a
2
M − m
d
2
< 0.
u ∈ C
2,1
(Q
T
) ∩ C(Q
T
)
(x, t) ∈ Q
T
(x, t) ∈ Γ × (0, T ]
x ∈ Ω
u
u
g = 0 ϕ = 0
Q
T
u(x0, t0) = M . Ââåäåì óíêöèþ
                           M −m           2             2             2
                                                                               (1.4)
                                                                         
     v(x, t) = u(x, t) +        (x − x 0 )   + (y − y0 )   + (z − z0 )     ,
                            6d2
íàçûâàåìóþ áàðüåðîì äëÿ óíêöèè u, ãäå d  äèàìåòð îáëàñòè Ω. Íà áî-
êîâîé ïîâåðõíîñòè ΣT öèëèíäðà QT è íà åãî íèæíåì îñíîâàíèè Ω0 èìååì
                                    M − m M 5m
                  v(x, t) ≤ m +          =   +   < M.
                                      6    6   6
Êðîìå òîãî, v(x0 , t0 ) = u(x0 , t0 ) = M . Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî óíêöèÿ v
òàê æå, êàê è u, íå ïðèíèìàåò ìàêñèìóìà íè íà áîêîâîé ïîâåðõíîñòè ΣT
öèëèíäðà QT , íè íà åãî íèæíåì îñíîâàíèè, ò. å. ïðè t = 0.
    òàêîì ñëó÷àå ìàêñèìóì óíêöèè v äîñòèãàåòñÿ â íåêîòîðîé òî÷êå
(x1, t1 ) = (x1, y1, z1 , t1) ∈ QT = Ω × (0, T ], ãäå x1 ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî âíóò-
ðåííåé òî÷êîé îáëàñòè Ω è 0 < t1 ≤ T . Ïîñêîëüêó òî÷êà (x1 , t1 ) ÿâëÿåòñÿ
òî÷êîé ìàêñèìóìà óíêöèè v , òî â ýòîé òî÷êå íåîáõîäèìî âûïîëíÿþòñÿ
íåðàâåíñòâà [18℄:
                            ∂ 2v      ∂ 2v      ∂ 2v      ∂v
            gradv = 0,           ≤ 0,      ≤ 0,      ≤ 0,    ≥ 0.              (1.5)
                            ∂x2       ∂y 2      ∂z 2      ∂t
(Áîëåå òîãî, åñëè t1 < T , òî ∂v/∂t = 0 ñîãëàñíî íåîáõîäèìîìó óñëîâèþ
ýêñòðåìóìà äèåðåíöèðóåìîé óíêöèè). Èç (1.5) âûòåêàåò, ÷òî â òî÷êå
(x1, t1 ) âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
                                  ∂v
                                     − a2 ∆v ≥ 0.                              (1.6)
                                  ∂t
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â ëþáîé òî÷êå (x, t) ∈ Ω × (0, T ] â ñèëó (1.4) èìååì
         ∂v           ∂u              M −m     2M − m
            − a2 ∆v =    − a2 ∆u − a2      = −a       < 0.                     (1.7)
         ∂t           ∂t                d2        d2
Ïîñêîëüêó (1.7) ïðîòèâîðå÷èò (1.6), òî òåîðåìà äîêàçàíà.
   Îïðåäåëåíèå 1.1. Êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è
(1.1)(1.3) íàçîâåì óíêöèþ u ∈ C 2,1(QT ) ∩ C(QT ), óäîâëåòâîðÿþùóþ
óðàâíåíèþ (1.1) â êàæäîé òî÷êå (x, t) ∈ QT , ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ (1.2) â
êàæäîé òî÷êå (x, t) ∈ Γ × (0, T ] è íà÷àëüíîìó óñëîâèþ (1.3) â êàæäîé
òî÷êå x ∈ Ω.
   Èç òåîðåìû 1.1 âûòåêàþò òðè âàæíûõ ñëåäñòâèÿ äëÿ êëàññè÷åñêîãî ðå-
øåíèÿ u ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è (1.1)(1.3).
   Ñëåäñòâèå 1.1. Êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå u çàäà÷è (1.1)(1.3), îòâå÷àþ-
ùåå íóëåâûì èñõîäíûì äàííûì g = 0 è ϕ = 0, òîæäåñòâåííî ðàâíî íóëþ
â QT .

                                          61

Страницы