Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u Σ
T
Ω
0
u ≡ 0
u
1
u
2
u = u
1
− u
2
t = 0 Γ ×(0, T ]
u ≡ 0 Q
T
u
1
= u
2
C(Q
T
) g
ϕ
g
1
− g
2
g
1
g
2
ϕ
1
− ϕ
2
ϕ
1
ϕ
2
ε > 0 |g
1
−g
2
| ≤ ε Γ ×[0, T ] |ϕ
1
−ϕ
2
| ≤ ε
Ω t = 0 u
1
u
2
(g
1
, ϕ
1
) (g
2
, ϕ
2
) u = u
1
− u
2
g
1
−g
2
ϕ
1
− ϕ
2
|u| ≤ ε
T = ∞
R
n
R
n
u
u ∈ C(Q
T
) u
ϕ ∈ C(Ω) g ∈ C(Γ × [0, T ]) ϕ(x) = g(x, 0) ∀x ∈ Γ
u
n = 1
Ω ⊂ R
n
   Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ u íà ΣT
è Ω0 ðàâíû íóëþ, òî u ≡ 0 â ñèëó ïðèíöèïà ìàêñèìóìà.
   Ñëåäñòâèå 1.2. Êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è (1.1)(1.3) åäèíñòâåí-
íî.
   Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ÷òî ñó-
ùåñòâóþò äâà êëàññè÷åñêèõ ðåøåíèÿ u1 è u2 çàäà÷è (1.1)(1.3). Òîãäà èõ
ðàçíîñòü u = u1 − u2 óäîâëåòâîðÿåò îäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ (1.1) è îáðà-
ùàåòñÿ â íóëü êàê ïðè t = 0, òàê è íà Γ × (0, T ]. Íî òîãäà èç ñëåäñòâèÿ 1.1
âûòåêàåò, ÷òî u ≡ 0 â QT , ò.å. ÷òî u1 = u2 .
   Ñëåäñòâèå 1.3. Êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è (1.1)(1.3) íåïðåðûâíî â
íîðìå C(QT ) çàâèñèò îò ãðàíè÷íîé óíêöèè g â (1.2) è íà÷àëüíîé óíê-
öèè ϕ â (1.3).
   Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü ðàçíîñòü g1 − g2 ãðàíè÷íûõ
óíêöèé g1 è g2 â (1.2) è ϕ1 − ϕ2 íà÷àëüíûõ óíêöèé ϕ1 è ϕ2 â (1.3) íå
ïðåâîñõîäèò ïî ìîäóëþ ÷èñëà ε > 0: |g1 − g2 | ≤ ε íà Γ × [0, T ], |ϕ1 − ϕ2 | ≤ ε
â Ω (ïðè t = 0). Îáîçíà÷èì ÷åðåç u1 (ëèáî u2 ) ðåøåíèå çàäà÷è (1.1)-(1.3),
îòâå÷àþùåå ïàðå (g1 , ϕ1 ) (ëèáî (g2 , ϕ2 )). Òîãäà ðàçíîñòü u = u1 − u2 îáîèõ
ðåøåíèé êàê ðåøåíèå îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (1.1) ñ ãðàíè÷íîé óíêöèåé
g1 − g2 è íà÷àëüíîé óíêöèåé ϕ1 − ϕ2 óäîâëåòâîðÿåò ñîãëàñíî òåîðåìå 1.1
óñëîâèþ |u| ≤ ε.
   Çàìå÷àíèå 1.1. Ïðèâåäåííûå ðåçóëüòàòû ñ íåáîëüøèìè èçìåíåíèÿìè
ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ íà ñëó÷àé êîãäà T = ∞, ò. å. êîãäà çàäà÷à (1.1)(1.3)
ðàññìàòðèâàåòñÿ íà áåñêîíå÷íîì âðåìåííîì èíòåðâàëå (ñì. ï. 1.2).
   Çàìå÷àíèå 1.2. Ïðèíöèï ìàêñèìóìà â îðìå òåîðåìû 1.1 ñïðàâåä-
ëèâ äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè (1.1), ðàññìàòðèâàåìîãî â ïðîñòðàí-
ñòâå Rn ëþáîãî ÷èñëà èçìåðåíèé. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî â óêàçàííîé îðìå îí
ñïðàâåäëèâ èìåííî äëÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè. Â ñëå-
äóþùåì ïóíêòå ìû ðàñïðîñòðàíèì ïðèíöèï ìàêñèìóìà íà îáùåå íåîäíî-
ðîäíîå óðàâíåíèå ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà ñ ïåðåìåííûìè êîýèöèåíòàìè,
ðàññìàòðèâàåìîå â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà Rn .
   Åñòåñòâåííî, âîçíèêàåò âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ
u çàäà÷è (1.1)-(1.3).  ýòîé ñâÿçè îòìåòèì, ÷òî ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è (1.1)-
(1.3) ìîæíî äîêàçàòü ëèøü ïðè âûïîëíåíèè îïðåäåëåííûõ óñëîâèé ãëàäêî-
ñòè è ñîãëàñîâàíèÿ èñõîäíûõ äàííûõ. Äåéñòâèòåëüíî, óñëîâèå íåïðåðûâíî-
ñòè u ∈ C(QT ) êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ u íåîáõîäèìî òðåáóåò, ÷òîáû âûïîë-
íÿëèñü ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ãëàäêîñòè è ñîãëàñîâàíèÿ èñõîäíûõ äàííûõ:
   (i) ϕ ∈ C(Ω), g ∈ C(Γ × [0, T ]), ϕ(x) = g(x, 0) ∀x ∈ Γ.
Íî äàæå ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (i) äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå êëàññè÷åñêî-
ãî ðåøåíèÿ u çàäà÷è (1.1)-(1.3) äîâîëüíî íåïðîñòî. Íèæå ìû îãðàíè÷èìñÿ
äîêàçàòåëüñòâîì ðàçðåøèìîñòè çàäà÷è (1.1)-(1.3) ëèøü â ÷àñòíîì ñëó÷àå
n = 1 ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà Ôóðüå. ×òî êàñàåòñÿ îáùèõ êðàåâûõ çàäà÷
äëÿ óðàâíåíèé ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà â ïðîèçâîëüíûõ îáëàñòÿõ Ω ⊂ Rn ,

                                      62

Страницы