Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u|
t=0
= ϕ(x), x ∈ Ω.
x = (x, y, z) u
Ω a
2
> 0
g ϕ
Γ
Ω
Ω
C
2,1
(Q
T
) C(Q
T
)
Q
T
t C(Q
T
)
C(Q
T
) Q
T
= Ω × [0, T ]
Q
T
u ∈ C
2,1
(Q
T
) ∩ C(Q
T
)
Q
T
Γ × (0, T ] Q
T
Ω × {t = 0}
u
(x, t) ∈ Q
T
(x, t) −u
M = max
(x,t)∈
Q
T
u(x, t), m = max
(x,t)∈
Σ
T
∪Ω
0
u(x, t).
M ≥ m M = m
u ∈ C
2,1
(Q
T
) ∩C(Q
T
)
u
M > m Q
T
u
(x
0
, t
0
) = (x
0
, y
0
, z
0
, t
0
) ∈ Ω × (0, T ]
è íà÷àëüíîìó óñëîâèþ

                             u|t=0 = ϕ(x), x ∈ Ω.                           (1.3)

Çäåñü x = (x, y, z), u  èñêîìàÿ óíêöèÿ, ïîä êîòîðîé íèæå áóäåì ïîíè-
ìàòü òåìïåðàòóðó â îáëàñòè Ω, êîíñòàíòà a2 > 0 èìååò ñìûñë êîýè-
öèåíòà òåïëîïðîâîäíîñòè, g è ϕ  çàäàííûå óíêöèè ñâîèõ àðãóìåíòîâ,
ïåðâàÿ èç êîòîðûõ îïèñûâàåò ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû íà ãðàíèöå Γ, à
âòîðàÿ îïèñûâàåò íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â îáëàñòè Ω. Çà-
äà÷à (1.1)(1.3) íàçûâàåòñÿ ïåðâîé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷åé (èëè ïðîñòî
ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷åé, ëèáî çàäà÷åé Äèðèõëå) äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðî-
âîäíîñòè.  èçè÷åñêîì ïëàíå îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàäà÷ó îïðåäåëåíèÿ
ýâîëþöèè òåïëîâîãî ñîñòîÿíèÿ òåëà, çàíèìàþùåãî îáëàñòü Ω, ïî çàäàííîìó
åãî òåïëîâîìó ñîñòîÿíèþ â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè è íà ãðàíèöå.
   Ôóíäàìåíòàëüíûì ñâîéñòâîì ðåøåíèé óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè (1.1),
êà÷åñòâåííî îòëè÷àþùèì åãî îò âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ, ÿâëÿåòñÿ ïðèíöèï
ìàêñèìóìà. Îáîçíà÷èì ÷åðåç C 2,1(QT ) ïîäïðîñòðàíñòâî ïðîñòðàíñòâà C(QT ),
ñîñòîÿùåå èç óíêöèé, íåïðåðûâíûõ â QT âìåñòå ñ ïðîèçâîäíûìè ïåðâîãî
è âòîðîãî ïîðÿäêîâ ïî ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåííûì è ïðîèçâîäíîé ïåð-
âîãî ïîðÿäêà ïî t, ÷åðåç C(QT ) îáîçíà÷èì ïîäïðîñòðàíñòâî ïðîñòðàíñòâà
C(QT ), ñîñòîÿùåå èç óíêöèé, íåïðåðûâíûõ â çàìûêàíèè QT = Ω × [0, T ]
ìíîæåñòâà QT . Ñîðìóëèðóåì åãî â âèäå òåîðåìû.
   Òåîðåìà 1.1 (ïðèíöèï ìàêñèìóìà). Ôóíêöèÿ u ∈ C 2,1 (QT ) ∩ C(QT ),
óäîâëåòâîðÿþùàÿ îäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ òåïëîïðîâîäíîñòè (1.1) â öè-
ëèíäðå QT , ïðèíèìàåò íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ëèáî íà áîêî-
âîé ïîâåðõíîñòè Γ × (0, T ] öèëèíäðà QT , ëèáî íà åãî íèæíåì îñíîâàíèè
Ω × {t = 0}.
   Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî ïðîâåñòè äîêàçàòåëüñòâî äëÿ ñëó÷àÿ
ìàêñèìóìà. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè óíêöèÿ u, óêàçàííàÿ â óñëîâèè òåîðå-
ìû, äîñòèãàåò ìèíèìóìà â íåêîòîðîé òî÷êå (x, t) ∈ QT , òî â òîé æå òî÷êå
(x, t) äîñòèãàåò ìàêñèìóìà óíêöèÿ −u, òàêæå óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâè-
ÿì òåîðåìû. Ïðèìåíèì äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïðèíöèïà ìàêñèìóìà ìåòîä
áàðüåðîâ, ñóòü êîòîðîãî èçëàãàåòñÿ íèæå.
   Ïîëîæèì

                 M = max u(x, t), m =           max         u(x, t).
                       (x,t)∈QT              (x,t)∈ΣT ∪Ω0

ßñíî, ÷òî M ≥ m. Òåîðåìà áóäåò äîêàçàíà, åñëè ìû ïîêàæåì, ÷òî M = m
äëÿ ëþáîãî ðåøåíèÿ u ∈ C 2,1(QT ) ∩ C(QT ) óðàâíåíèÿ (1.1). Ïðåäïîëîæèì
ïðîòèâíîå, ò. å. ÷òî ñóùåñòâóåò òàêîå ðåøåíèå u óðàâíåíèÿ (1.1), äëÿ êî-
òîðîãî M > m. Â ñèëó íåïðåðûâíîñòè íà QT óíêöèè u ñóùåñòâóåò ïî
êðàéíåé ìåðå îäíà òî÷êà (x0 , t0 ) = (x0, y0 , z0 , t0 ) ∈ Ω × (0, T ] òàêàÿ, ÷òî

                                       60

Страницы