Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

∂u
∂t
= a
2
∆u + f, (1)
a
2
= const > 0 f
Ω R
3
Γ Q
T
= Ω ×(0, T ] Σ
T
= Γ ×(0, T ], Ω
0
= Ω ×{t = 0}
0 < T < ∞ Q
T
R
4
= R
3
x
×R
1
t
Σ
T
Ω
0
Q
T
Q
T
∂u
∂t
= a
2
∆u ≡ a
2
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
+
∂
2
u
∂z
2
,
u|
Γ
= g(x, t), (x, t) ∈ Γ × (0, T ]
       ËÀÂÀ 5. Ïàðàáîëè÷åñêèå óðàâíåíèÿ è
              òåïëîâûå ïðîöåññû
    ãë.1 áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññîâ
òåïëîïðîâîäíîñòè, äèóçèè, ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé
â ñèëüíî ïðîâîäÿùèõ ñðåäàõ è ðÿäà äðóãèõ ïðîöåññîâ ïðèâîäèò ê íåîáõî-
äèìîñòè ðåøåíèÿ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèé ïàðàáîëè÷åñêî-
ãî òèïà. Ïðîñòåéøèì ïðåäñòàâèòåëåì ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ
óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè
                             ∂u
                                = a2 ∆u + f,                           (1)
                             ∂t
ãäå a2 = const > 0, f  çàäàííàÿ óíêöèÿ, èìåþùàÿ ñìûñë îáúåìíîé
ïëîòíîñòè èñòî÷íèêîâ òåïëà. Íèæå ìû ñîðìóëèðóåì îñíîâíûå íà÷àëüíî-
êðàåâûå çàäà÷è è çàäà÷ó Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ âèäà (1) â ïðîñòðàíñòâå
îäíîãî è íåñêîëüêèõ èçìåðåíèé, èññëåäóåì åäèíñòâåííîñòü è óñòîé÷èâîñòü
ðåøåíèé óêàçàííûõ çàäà÷, äîêàæåì èõ ðàçðåøèìîñòü â ÷àñòíûõ ñëó÷à-
ÿõ, èñïîëüçóÿ ìåòîäû Ôóðüå è èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, è èçó÷èì
ñâîéñòâà èõ ðåøåíèé, õàðàêòåðèçóþùèå èìåííî ïàðàáîëè÷åñêèå óðàâíå-
íèÿ. Ê óêàçàííûì ñâîéñòâàì îòíîñÿòñÿ ïðèíöèï ìàêñèìóìà, áåñêîíå÷íàÿ
äèåðåíöèðóåìîñòü ðåøåíèÿ âíóòðè ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè äàæå ïðè
íåãëàäêèõ ãðàíè÷íûõ è íà÷àëüíûõ äàííûõ è áåñêîíå÷íàÿ ñêîðîñòü ðàñ-
ïðîñòðàíåíèÿ âîçìóùåíèé. Ìû òàêæå ïðèâåäåì ïðèìåð íåêîððåêòíîé ïî-
ñòàíîâêè çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè.


                    Ÿ1. Ïðèíöèï ìàêñèìóìà

  1.1. Ïðèíöèï ìàêñèìóìà äëÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ òåïëî-
ïðîâîäíîñòè.   Ïóñòü Ω  îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â ïðîñòðàíñòâå R3 ñ ãðà-
íèöåé Γ. Ïîëîæèì QT = Ω × (0, T ], ΣT = Γ × (0, T ], Ω0 = Ω × {t = 0}, ãäå
0 < T < ∞. ßñíî, ÷òî ñ ãåîìåòðè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ îáëàñòü QT ïðåä-
ñòàâëÿåò ñîáîé êîíå÷íûé öèëèíäð â ïðîñòðàíñòâå R4 = R3x × R1t , à ΣT è Ω0
ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî åãî áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ è íèæíèì îñíîâàíèåì.
àññìîòðèì â öèëèíäðå QT ñëåäóþùóþ íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó: íàéòè â
QT ðåøåíèå òðåõìåðíîãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè
                                  2
                                         ∂ 2u ∂ 2u
                                                     
                  ∂u    2       2 ∂ u
                     = a ∆u ≡ a        +     +         ,             (1.1)
                  ∂t               ∂x2 ∂y 2 ∂z 2
óäîâëåòâîðÿþùåå ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ

                     u|Γ = g(x, t), (x, t) ∈ Γ × (0, T ]             (1.2)

                                     59

Страницы